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SUR L’INTÉGRALE EULÉRIENNE 
est absolument convergente dans cet espace , q étant une constante quelconque, 
réelle ou imaginaire . 
Suivant l'usage, (*) représente le coefficient binomial 
z{z — 1)(* — 2)^. (z-k- 4- 1). 
4.2.5 ... k 
Soienl z = a -{- ib, q = « + , k <= l + n , a = l — e , l et n étant 
des nombres entiers et e une quantité positive, inférieure à Punite. 
Le terme général de celte série peut être écrit sous la forme : 
( 2 ) U HÎ =(-1 )■+• 
[l-e-¥-ib)(l—e—\ + ib) ... (f— î'6)(f-4-1 — ib) .. (f-4-w— ib) 
1.2.5 ... (/ 
n 
L 
2tt-4-/-4-a-4-F-4-2-4-î’((3— b< 
a étant pris en valeur absolue, si la série 
-+- tr) ... [(f -4- n — I Ÿ -4- 6 2 ] ro =°° V/pe -4- n) 2 -+- 6 2 ] ... [(e -4- n -4-m) s -4- 6 2 ] 
( 3 ) s== — i 2 
1 
1.2.3 
m = 0 
(n -f- 1) (n ■+■ 2) ... (n -4- m -+- 1) 2n-+-2m — a — / 
est convergente, la série (1) est absolument convergente. 
Comparons la série (3) à la suite indéfinie 
(>? -+- n )( y 1 ) ... (j/ - 4 - n -f- m) 1 
(»+!)(» + 2).,.(n + in + 1) 2n - 4 - 2m — a — / 
laquelle est convergente, si >? est un nombre inférieur à l’unité (*). 
Si y est supérieur à e, on peut toujours trouver un nombre fixe n , tel 
qu’à partir de cette valeur de n l’inégalité 
(4) V 
*?(*f -4- 1) ... {v -4- n — 1) 
1.2.5 ... n 
m =0 
ou 
^(f -+- nf -t- > vi - 4 - n, 
(y 2 — e*) 2 (ij — f)» — 6 S > 0, 
soit constamment vérifiée. 
(*) Voir le travail intitulé : Sur quelques formules de Calcul intégral (Mémoires in-4° 
de l’Académie royale de Belgique, t. LI). 
