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INTRODUCTION. 
trer que les combinaisons clans lesquelles entrent plusieurs axes multiples 
se réduisent à t rois, est très pénible; il ne faut pas moins de vingt théorèmes 
(pp. 163 à 178) pour arriver à ce point. Quelques auteurs ont essayé de 
simplifier la méthode de Bravais; mais les démonstrations proposées ne sont 
pas rigoureuses pour les deux raisons qui suivent : 
1° On admet implicitement que dans un polyèdre les axes multiples de 
même ordre sont de même espèce^ 2° lorsque, par certaines constructions, 
on est parvenu, en partant de certains axes, à en trouver d’autres, on ne 
démontre pas que par les constructions employées on a obtenu tous les axes 
du système. 
Nous venons de trouver une marche excessivement simple; par elle on 
arrive, à l’aide de quelques calculs absolument élémentaires, à obtenir tous 
les polyèdres qui possèdent des éléments de symétrie directe. En voici le 
principe : 
Un polyèdre qui possède des éléments de symétrie directe est un polyèdre 
qui peut occuper dans l’espace plusieurs positions identiques en apparence à 
celle qu’il y occupe actuellement : ainsi, si l’on solidifie par la pensée l’espace 
qui environne un cube, il est facile de voir que l’on peut introduire le cube 
dans le moule ainsi formé de 24 façons différentes, tandis qu’un prisme 
droit à base carrée ne peut occuper que 8 positions distinctes, et un parallé- 
lipipède rectangle, 4. Ce nombre de positions identiques en apparence peut 
être calculé par deux méthodes différentes, et c’est en égalant les deux 
expressions obtenues que l’on arrive à la relation de laquelle on déduit les 
différentes classes de polyèdres possédant des éléments de symétrie directe. 
Première méthode. — Il existe dans le polyèdre plusieurs axes de symétrie 
identiques, non seulement de meme ordre, mais aussi de même espèce (un 
axe pouvant être d’espèces différentes à ses extrémités, comme la hauteur 
d’un tétraèdre régulier). Après avoir moulé la partie du polyèdre où aboutit 
l’extrémité d’un axe de symétrie d’ordre n , d’une certaine espèce, on fera 
occuper dans ce moule, au polyèdre, les n positions possibles; puis, après 
