INTRODUCTION. 
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avoir exlrait le polyèdre, on introduira dans le moule l’extrémité d’un axe 
de même espèce (pie le premier; on obtiendra encore n positions distinctes, 
mais identiques en apparence, et ainsi de suite jusqu’à ce (pie l’on ait employé 
tous les axes de même espèce, mais seulement ceux-ci. 
Seconde méthode. — En partant de la position initiale, on fera tourner le 
polyèdre autour d’un axe de symétrie d’ordre n , d’angles successifs égaux 
à — ; à chaque rotation on obtiendra une nouvelle position identique en 
apparence à la position initiale; lorsqu’on sera revenu à celle-ci, on fera 
tourner le polyèdre autour d’un autre axe de symétrie, et ainsi de suite, 
jusqu’à ce que tous les axes aient été employés. 
L’expression obtenue, égalée à celle donnée par la première méthode 
exposée ci-dessus, donne une relation entre le nombre d’axes, le nombre 
d’ordres et le nombre d’espèces. De cette équation, on tire immédiatement : 
1° U ne fient exister dans un polyèdre (/uc tout au /dus deux espèces 
d'axes du même ordre, sauf pour les axes binaires, pour lesquels ce nombre 
peut monter à trois. 
2° Un polyèdre ne peut posséder plus de trois ordres d’axes. 
3° Il n’y a que six combinaisons d’axes possibles dans les polyèdres pou- 
ram occuper plusieurs positions identiques en apparence : deux de ces com - 
binaisons ont des axes de trois ordres différents, deux ont des axes de deux 
ordres, deux enfin n’ont qu’un seul ordre d'axes. 
Dans la première méthode employée pour calculer le nombre de positions 
identiques en apparence qu’un polyèdre peut occuper dans l’espace, nous ne 
nous sommes servi que d’une seule espèce d’axes, et, s’il y avait N axes 
d’ordre n, de même espèce, le nombre demandé était Nm; mais nous serions 
arrivé au même résultat en employant les P axes d’ordre p, de même espèce, 
de sorte (pie N/t = P p = etc. Ainsi : 
Si dans un polyèdre on multiplie le nombre d’axes d’une certaine 
espèce par l’ordre de ces axes, le nombre obtenu est constant et égale le 
