8 DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE 
per une position a' , qui est aussi un sommet de P, vu que la nouvelle posi- 
tion P' doit être identique en apparence à P : après une nouvelle rotation a 
autour de A, a' vient en a", point qui aussi doit être un sommet de P, et 
ainsi de suite. On obtient ainsi une série de sommets a , a ' , a'', etc., égale- 
ment espacés sur une circonférence ayant son centre sur A el dont le plan 
est normal à cet axe. Après un certain nombre n de rotalions «, le point a 
doit revenir à sa position initiale, autrement le nombre de sommets du 
polyèdre serait infini; il a alors parcouru un certain nombre p de circonfé- 
rences, et l’on a 
• p 
na = pMr ou u = - . 
n 
Théorème III. — Si une rotation w = 27r|, p et n étant des entiers premiers 
entre eux , amène un polyèdre en une position identique en apparence à la 
position primitive, une rotation , autour du même axe, amènera aussi le 
polyèdre en une position identique en apparence à la position initiale. 
En effet, en développant - en fraction continue, puis formant les réduites, 
on obtiendra comme dernière réduite identiquement |. Soit " l’avant-dernière 
réduite; on a 
pu. \ 
n p np 
d’où 
p { 2n 
Ê.2ît 2ra= dt — • 
n n 
Or, vu qu’une rotation amène le polyèdre en une position identique 
en apparence à la position initiale, /3 fois cette rotation amèneront aussi le 
polyèdre en une position paraissant coïncider avec la primitive, el l’on 
arrivera à cette dernière position si de (3 2^ on retranche un certain nombre 
de circonférences «; donc la rotation — amène aussi le polyèdre en une 
position identique en apparence à la position initiale. 
Théorème IV. — Si — est la plus petite rotation qui puisse amener, autour 
d’un certain axe, un polyèdre d’une position à une autre identique en appa- 
rence à la primitive, le nombre de positions distinctes, mais identiques en 
