PLUSIEURS POSITIONS IDENTIQUES EN APPARENCE. 
H 
Fig. 1. 
Prenons pour plan de la figure le plan des 2 n axes d’ordre pair. Pour 
établir le théorème, il suffît de démontrer 
que trois axes consécutifs quelconques GA, 
GB, GG (lig. 1) font entre eux des angles 
égaux. Supposons, s'il est possible, que (3 > a; 
faisons tourner le polyèdre de 4 80° autour 
de GB; GA vient se placer en GD dans le 
plan de la figure. Comme G B est un axe 
d’ordre pair, une rotation de 180° doit don- 
ner la restitution, c’est-à-dire que GD serait 
un axe d’ordre pair du polyèdre dans sa 
position primitive, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, etc. 
Théorème VI. — Si un polyèdre possède en (oui 2n axes simples d’ordre 
pair dans un plan, il possède aussi, perpendiculairement à ce plan, un axe 
de symétrie d’ordre n. 
Nous divisons la démonstration en trois : 
4° La normale au plan des 2 n axes simples d’ordre pair est un axe de 
symétrie dont l’ordre est n ou un de ses multiples. 
Prenons pour plan de la figure 2 le plan des 2// axes d’ordre pair ; soient G4 , 
G2 deux axes consécutifs. Soit a h 
la projection sur le plan du dessin 
d’un sommet quelconque du polyèdre 
situé à la hauteur h au-dessus de 
ce plan. Faisons tourner le polyèdre 
de 4 80° autour de G4; a,, vient 
en a'_ h , qui est donc aussi un som- 
met du polyèdre dans sa position 
initiale; de même, lorsque le polyèdre 
aura subi une nouvelle rotation de 
180° autour de G2, d_ h vient en a" h , 
et ce point est aussi un sommet du 
polyèdre dans sa position primitive. 
