<2 DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE 
On voit aisément que w = comme les points a h , a'I sont à la même hau- 
teur au-dessus du plan de la figure, et que G a,, = G a'I, en faisant tourner 
le polyèdre de ~ autour de la droite qui se projette en G, le sommet a h 
viendra en a'I , et il y aura restitution. Donc la droite G est un axe de 
symétrie dont l’ordre est n ou un de ses multiples (*). 
2° Si perpendiculairement à un A" il existe un axe d’ordre pair, il existe 
en tout 2n axes simples d’ordre pair dans un plan perpendiculaire à A". 
En effet, soit G (fig. 2) le A 7 ', G1 l’axe d’ordre pair existant, a'I un sommet 
du polyèdre, a h la position que prend ce sommet après une rotation ^ = ~ 
autour de A 7 ', a_ h la position prise après rotation de 180° autour de Gl. Si 
nous menons G2 perpendiculaire à a h d _ h , on voit facilement que l’angle 1G2 
est constant et égal à et qu’une rotation de 180° autour de G2 amène a'I 
en a'_ h ; donc G2 est un axe d’ordre pair du polyèdre. Il suit de là qu’il 
existe normalement à G au moins 2 n axes simples d’ordre pair, faisant entre 
eux des angles 11 ne peut exister dans le plan perpendiculaire à G d’autres 
axes d’ordre pair que ceux que nous venons de déterminer; autrement, 
d’après le 4° l’axe G serait d’un ordre supérieur à n, ce qui est contraire à 
l’hypothèse. 
3° La perpendiculaire au plan des 2 n axes simples d’ordre pair est un 
axe de svmétrie de l’ordre n. 
•/ 
En effet, on a vu que l’ordre de l’axe G est égal ou supérieur à n ; mais, 
si l’ordre de G était supérieur à n, d’après le 2°, il existerait dans un plan 
normal à G plus de 2 n axes simples d’ordre pair, ce qui est contraire à 
l’hypothèse. Donc, etc. 
Théorème VIL — Si 2n est le nombre total d’axes simples d’ordre pair 
possédés par un polyèdre dans un plan, ou bien tous ces axes sont de même 
espèce, ou bien il y en a n d’une espèce, n d’une autre . Dans le second cas, si 
n est pair, les axes simples de même espèce sont deux à deux dans le proion - 
(*) Dans ce cas il ne pourrait être que 2 m, autrement un des axes d’ordre pair, en tour- 
nant autour de G, engendrerait d’autres axes d’ordre pair que les 2 n considérés, ce qui est 
impossible. 
