H DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE 
Considérons, en effet, un axe simple d’ordre n ; en faisant tourner le 
polyèdre de — autour de cet axe, on obtiendra n positions distinctes, iden- 
tiques en apparence à la primitive. Si, après avoir extrait le polyèdre du 
moule qu’il détermine dans l’espace, on l’y introduit en mettant à la place de 
l’axe qui a servi en premier lieu un autre axe de même espèce, on obtiendra, 
par rotation, n positions évidemment différentes des premières. Lorsqu’on 
aura introduit, à la place du premier, tous les axes de même espèce, on aura 
évidemment obtenu toutes les positions identiques en apparence à la position 
initiale. Comme chaque À" a donné n positions différentes, on aura v = N d n. 
Si, en parlant de la position initiale, on avait opéré de même sur les P } axes 
de même espèce d’ordre;?, on aurait eu v = P,/;. Donc, etc. 
Corollaire. — Lorsqu'un polyèdre possède des axes simples de même 
ordre , de plusieurs espèces, il en possède le même nombre de chaque espèce. 
En effet, si 'N 4 , N 2 , N 3 , etc., représentent les nombres de \ n de chaque 
espèce, d’après le théorème précédent, on a 
ou 
N, h = N 4 h = Nj« = etc., 
N 
N, = N 4 = N 3 = etc. = — . 
en désignant par N le nombre total de V et par k u le nombre d’espèces de 
ces axes. 
Théorème IX. — Un polyèdre qui possède N axes simples d'ordre n, P axes 
simples d'ordre p, etc., peut occuper dans l’espace un nombre de positions 
identiques en apparence, donné par 
N V Q 
» = 1 -h - (n — 1) 4- - (p — 1) - 4 - —{q — I) -+- etc (a) 
Partons d’une certaine position et cherchons toutes les positions identiques 
en apparence à cette position initiale. Faisons tourner le polyèdre autour 
d’un A”, après avoir marqué d’une lettre spéciale « la place occupée dans 
