PLUSIEURS POSITIONS IDENTIQUES EN APPARENCE. 
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l'espace par une des extrémités de cet axe : effectuons des rotations^- jusqu à 
ce que nous soyons revenu à la position initiale; nous obtiendrons ainsi, 
outre la position initiale, n — 1 nouvelles positions distinctes. Faisons ensuite 
tourner le polyèdre autour d’un autre axe, d’un A p par exemple, après avoir 
marqué d'une lettre /3 la place qu’occupe dans l’espace une de ses extrémités: 
les p — \ positions que nous obtenons ainsi différent évidemment des n — 1 
premières positions, cardans aucune d’elles l’axe simple initial X" n'occupe la 
position a, comme il arrive pour les n — 1 premières positions. Si, après 
être revenu à la position initiale, on opère de même sur un autre axe de 
symétrie, sur un A 7 par exemple, les q — 1 positions que l’on obtiendra 
différeront des n — 1 et p — 1 positions précédentes pour une raison ana- 
logue. Lorsqu’on aura ainsi employé tous les axes de symétrie du polyèdre, 
on aura obtenu évidemment (’) toutes les positions identiques en apparence 
à la primitive; en outre, d’après ce qui précède, chaque position n’aura été 
obtenue qu’une fois. Ainsi, outre la position initiale, chaque A" donne n — 1 
positions distinctes, chaque A /; en donne p — 1, etc., et, comme il y a ^ axes 
d ordre n, - axes d ordre p , etc., le nombre de positions identiques en appa- 
rence est 
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y ~ • H (H I ) T- (/J — I ) -4- CtC. 
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1 héorème X. — Il ne peut exister dans un polyèdre que tout au plus deux 
espèces d axes de meme ordre, sauf dans le cas des axes binaires où le nombre 
d'espèces peut monter à trois. 
En effet, soit N le nombre de X" et soit k„ le nombre d’espèces de ces axes; 
il y en aura £ de chaque espèce (Cor., Th. VIII); soit de même l> le nombre 
de V } et soit k p le nombre d’espèces de ces axes; il y en aura ~ de chaque 
espèce, etc. Le théorème VIII donne 
N V 
,u-. 
d») 
*> D’après les théorèmes l et IV. 
