16 DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE 
En remplaçant v par la première valeur ci-dessus dans l’équation (a), il 
vient 
2 n 
N(l •*- - u) = 2 -+- P [p — ■!)-+- Q(fj — 1) -f- clc. 
Le second membre étant essentiellement positif, on doit avoir 
ou 
2 n 
H < ~ I , 
' 1 n 
, 2>i 2 
< = 2 - 4 - 
n — I — 1 
Si n = 2, k n < 4 et, par conséquent, à*„ =1,2 ou 3. 
Si n > 2, /i„ < 3 et, par conséquent, k„ — 1 ou 2. 
Théorème XI. — Un polyèdre ne peut posséder plu* de trois ordres diffe- 
rents d’axes de symétrie. 
Si x est le nombre d’ordres d’axes, l’équation ( b ) donne 
N ri P p 
— - 4- elc. = xv. 
1 n " p 
ou, à cause de (a), 
j S n P p N x(n — I) Px(/j — 1) 
4- h ClC = JC -4- 1 H clc (c) 
h A' ± “> 
M n n p ** — 
Supposons, s’il est possible, x > 3; comme x est entier, il sera au moins 
égal à 4 ; le multiplicateur de N dans le second membre est donc au moins 
2 n — 2, dans le premier membre il est tout au plus n; or, n est plus petit 
que 2 n — 2, si n > 2; donc les multiplicateurs de N, P, etc., dans le pre- 
mier membre seront plus petits que les multiplicateurs correspondants dans 
le second membre, seuls les multiplicateurs relatifs aux axes binaires 
pouvant devenir égaux; donc le premier membre est plus petit que le second 
et l’égalité est impossible. Donc, etc. 
