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PLUSIEURS POSITIONS IDENTIQUES EN APPARENCE. 
Classification des polyèdres qui possèdent des axes de symétrie. Le 
théorème précédent prouve qu’il ne peut exister que trois classes de pokèdies 
possédant des axes de symétrie : nous placerons dans la première ceux qui 
possèdent des axes de trois ordres différents , dans la deuxième ceux qui n’en 
possèdent que de deux ordres, dans la troisième ceux qui possèdent des axes 
d’<m seul ordre. 
PREMIÈRE CLASSE. 
POLYÈDRES POSSÉDANT TROIS ORDRES D AXES. 
Théorème XII. — Les polyèdres qui possèdent des axes de trois ordres 
différents ne peuvent avoir, dans chaque ordre, que des axes d’une seule 
espèce. Il ny a que deux combinaisons d’axes possibles ; ce sont : 3 A 4 , iA'\ 6A“ 
et 6A 3 , 1 ()A :i , 1 oA' 2 . 
L’équation (c) devient ici : 
Nn P p Qq 
1 1 ? 
*. k, k. 
5 
3 N (n 
I) 5P(/> — 1) 5Q(q-1) 
Celte équation monlre d’abord que ces polyèdres doivent nécessairement 
posséder des axes binaires. En effet, si n , p, (/ étaient >3, on en dédui- 
rait : n<^~ [) ) on aurait donc aussi : f- _< les multiplicateurs de 
N, P, Q .1 ans le premier membre étant inférieurs aux multiplicateurs des 
mêmes quantités dans le second membre, ceux relatifs aux axes ternaires 
pouvant seuls devenir égaux, l’égalité serait impossible. Soit donc q = 2. 
L’équation ci-dessus devient : 
îVh P p 2Q 3N(/j — t) 5P(p — \) 3Q 
1 • - — - 4 - - — = 3 4 - -+- - 
k. 
k. 
■ï 
2 
2 
Mais, d’après ce qui vient d elre dit, comme n et p sont > 3, il faut 
A » 9 * - ' 
que ^ donc h\>-= 1. Eliminons N et P par la relation (b), qui devient ici : 
