18 DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE 
on obtient 
Q = 
\ 
3 n — 1 p — 1 
~ K k 
2 n v 
La valeur de Q doit être positive; or, il est facile de voir que, pour cela, 
il faut que k n = 1, k p = 1; en effet, les plus petites valeurs de -î- et 
correspondantes à n — 3, p = 4, sont ^ et dans ce cas, pour k n = k p 1, 
le dénominateur devient — ; il serait par conséquent négatif, si l’on supposait 
k n ou k p = 2 ; a fortiori cela arriverait pour des axes d’un ordre supérieur. 
Ainsi : Dans un polyèdre ayant trois ordres d’axes, tous les axes de même 
ordre sont de même espèce. 
La valeur de Q devient 
t 
o 
î i î 
n p 2 
Pour que Q soit positif, il faut que 
t 
n 
\ \ 
->-• 
p 2 
Posons n = x + 2, p- y + 2, x et y représentant des quantités 
inégales positives; l’inégalité ci-dessus devient xy < 4 et n’est satisfaite que 
par x = \, y — 2 ou x = 4, y = 3. Donc il n’y a que deux combinaisons 
possibles : n = 3, p = 4 et /t == 3, p = 5. En remplaçant dans la valeur 
de Q (*)> puis en observant que N = P = y, on obtient : 
1° n = 3, p = 4, Q = 1 2, N = 8, P = G; 
donc 
12* 2 , Si 3 , 6A*, ou GA 2 , 4 A 3 , 3 a 4 . 
2° »==3, p = 3, Q = 50, N = 20, p = 12; 
donc 
50 A 2 , 20A 3 , 1 2 A 5 ou 15A 2 , I0A 3 , GA 5 . 
(*) 11 faut en outre que, par remplacement, on obtienne pour Q, N, P des nombres pairs . 
