PLUSIEURS POSITIONS IDENTIQUES EN APPARENCE. 19 
De ce qui précède, il suit que toute combinaison autre que les deux 
trouvées ci-dessus est impossible dans les polyèdres à I rois ordres d’axes : 
reste à faire voir que ces deux combinaisons sont réalisables. A cet eflet, il 
suffit de faire observer (*) que la première est réalisée dans le cube, la 
seconde dans le dodécaèdre régulier. 
Observation . L’équation (Ji) donne v = 24 pour la première combinai- 
son, v = 60 pour la seconde, de sorte que : 
Un polyèdre possédant trois ordres d’axes de symétrie peut occuper dans 
l’espace soit vingt-quatre, soit soixante positions identiques en apparence . 
DEUXIÈME CLASSE. 
POLYÈDRES POSSÉDANT DEUX ORDRES D’AXES. 
Théorème XIII. — Dans les polyèdres possédant des axes de deux ordres, 
il y a un ordre d’axes de même espèce et un ordre de deux espèces différentes. 
Il n’y a que deux combinaisons possibles ; ce sont: 3 A 2 , 4 À 3 , 4 A' 8 et A", nX 2 , ni' 2 , 
avec n > 2. 
L’équation (c) devient ici 
N n P p 
_ =2 N(« — 1) P(p — 1} 
Pour démontrer que l’un des k doit être égal cà 1 et l’autre égal à 2, nous 
allons faire voir que toutes les autres hypothèses conduisent à des impossi- 
bilités. 
1° U est impossible qu’il y ait un ordre d’axes de trois espèces différentes. 
En effet, supposons k p = 3 et, par conséquent, p = 2 (Th. X). En 
tenant compte de la relation (b), qui donne ici ^ = l’équation (d) devient 
p = 
n — 2 k n (?i — 1 ) 
Pour que P fut positif, il faudrait que k n < 1) ? ce qui est impossible. 
1 ) \ oii , poui la démonstration directe, la seconde partie de ce mémoire. 
