n DES POLYÈDRES QUI PEUVENT OCCUPER DANS L’ESPACE, ETC. 
La première combinaison est réalisée dans toute pyramide régulière , la 
seconde dans un parai lélipipède rectangle. 
Il résulte de ce qui précède que tout polyèdre pouvant occuper dans 
l’espace plusieurs positions identiques en apparence est compris dans une 
des six catégories suivantes : 
Avec 3 ordres d’axes. 
Avec 2 ordres d’axes. 
Avec 1 ordre d’axes. 
3 A*, 4 A*, RA 2 . 
OA 5 , 1 0A 3 , \ OA 2 . 
3À 2 , 4a 3 , 4 a' 3 . 
A", nï\ nx'\n > 2) 
A", A'\ 
A 2 V' 2 A" 2 
Théorème XV. — Tout polyèdre (pii possède plus d’un axe(*) de symétrie, 
peut occuper dans l’espace un nombre de positions identiques en apparence 
donné par 
v = 2(3rç, — J), 
en désignant par DT, le nombre total d’axes composés du polyèdre . 
En effet, on a vu que 
/ N P 
(a) v = 1 h — (n — 1 ) h (p — 4 ) -4- etc. 
2 2 
Pour les polyèdres à trois ordres d’axes, on a 
Nn = P p — Qq — v. 
Pour les polyèdres à deux ordres d’axes, on a 
p» 
Nn = — = v. 
2 
Pour les polyèdres à un ordre d’axes, ayant plus d’un axe , on a 
N n 
5 
Dans les trois cas, l’équation (a) devient 
v = 4 H ■ 0To, Oïl v = 2(a)X> — 1 ). 
(*) Cette restriction se rapporte aux polyèdres de la cinquième catégorie, pour les- 
quels v = n. 
