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DES MACLES. 
Exemple . — Dans les polyèdres appartenant à la première catégorie 
(/oc. ci/., p. 22), on a 3 A 4 , 4A :i , 6A 2 ; donc B = 9. 
Perpendiculairement à un A 4 , il existe 2A 4 , 2a 2 , et 2. 5 -+- 2. 1 = 8. 
— — A 2 — a 4 , 2a 5 , a 2 , et 1.5 -+- 2 . 2 -+- 1 . 1 = 8. 
Remarque. — Si le polyèdre est centré, le plan perpendiculaire à un 
axe d’ordre pair est un plan de symétrie, de sorte que le corollaire précé- 
dent peut alors s’énoncer : 
Dans tout polyèdre ayant un centre (*), si l’on considère les différents 
plans de symétrie et que dans chacun d’eux on ajoute les nombres obtenus 
en retranchant l’unité de l’ordre de chaque axe y contenu , cette somme est 
constante et égale le nombre total de plans de symétrie diminué d’une unité . 
Observation sur les théorèmes précédents. — Le théorème I devient 
illusoire si les positions considérées P et P 1 sont identiques en apparence; 
en elTet, pour avoir tous les axes de coïncidence, nous avons remplacé P 1 
par les positions lui identiques en apparence ; chaque position nous a donné 
un axe de coïncidence; mais, parmi ces positions, dans notre cas, il y en a 
une identique en réalité à P, et pour amener P en P on ne peut y parve- 
nir que par une rotation de 360°, et toute rotation de 360° autour d’un axe 
quelconque répond à la question (**). Mais, une fois que les axes sont 
écartés par l’énoncé même, comme dans les théorèmes II et III, dans 
lesquels il ne s’agit que d’axes L z , la propriété subsiste et peut être appli- 
quée même au cas où les positions P et P' sont identiques en apparence, 
comme nous l’avons fait dans le corollaire du théorème III. 
(*) Voir l’Appendice de ce mémoire. 
(**) Si l’on convient de faire abstraction de ces L 2t , le nombre d’axes de coïncidence 
pouvant amener un polyèdre d’une position à une autre, identique en apparence à la 
première, est N (n — 1)-J-P(p — 1) + Q((/ — 1), chaque groupe de n — 1 axes coïncidant en 
direction avec un À". 
Ainsi un cube 3A 4 , 4A 3 , 6A 2 peut venir de 24 façons différentes d’une position à une 
autre, si ces positions peuvent être distinguées entre elles; niais si les positions sont iden- 
tiques en apparence, le nombre des rotations, qui s’effectuent alors autour des 13 axes 
de symétrie, est de 23. 
