InTRODUZ. AD UNA TEORIA GEOMETRICA EC. 
ovvero, indicando con A, B , C, D le quattro direzioni o(a, b , c , d) e 
con AC, CB , . . . gli angoli da esse compresi: 
ac ad __ sen AC sen A D 
cb ‘ db ~ sen CB '' sen DB 5 
eguaglianza che scriveremo simbolicamente così: 
( abcd ) = sen ( ABCD )l 
All’ espressione del secondo membro di quest’ equazione si dà il nome di 
rapporto anarmonico delle quattro rette A, B , C 3 D. Dunque: il rapp or- 
centro o è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro punti 
conseguenza, se le quattro rette A , B , C , D sono segate da un’ altra trasver- 
sale in a', b ', c', d' , il rapporto anarmonico di questi nuovi punti, sarà egua- 
le a quello de’ primi a, b, c , d. E così pure, se i punti a,*b, c, d ven- 
gono uniti ad un altro centro o' mediante quattro rette A', B’ , C , D’ , il rap- 
porto anarmonico di queste sarà eguale a quello delle quattro A , B, C, D. 
3. Dati quattro punti a,b,c,d in linea retta e tre altri punti a',b r ,c' 
in un’ altra retta, esiste in questa un solo e determinato punto d! , tale 
che sia: 
( a'b'c'd' ) = ( abcd ). 
Ciò riesce evidente, osservando che il segmento a'b' dev’ 
punto d' in modo che si abbia: 
dd' / ad_ ac 
d b' V db '' cb 
diviso dal 
Donde segue che, se i punti ad coincidono ( fig. 2. a ) , le rette bb', cc' , 
dd' concorreranno in uno stesso punto o. 
Analogamente: dati due fasci di quattro rette ABCD, A'B' CD', i centri 
de* quali siano o, 6, ed i rapporti anarmonici 
sen (ABCD), sen (A'B' CD') 
siano eguali, se i raggi AA! coincidono in una retta unica ( passante per o e 
per o' ) , i tre punti BB 1 , CC, DD 1 sono in linea retta. 
Dati quattro punti a, b, c, d in una retta ed altri quattro punti a 1 , b', 
c', d' in una seconda retta (fig. 3. a ) , se i rapporti anarmonici (abcd), 
( a'b'c'd ’) sono eguali, anche i due fasci di quattro rette a(a'bcd'), a! (abcd) 
avranno eguali rapporti anarmonici ( 2 ). Ma in questi due fasci i raggi corri- 
spondenti aa! , a! a coincidono; dunque i tre punti ( ab', a'b), (ac, de), 
( ad', a’d ) sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per 
costruire il punto d ' , quando siano dati abcd, a'b'c'. 
Ed in modo somigliante si risolve 1’ analogo problema rispetto a due fa- 
sci di quattro rette. 
4. Quattro punti a, b, c, d in linea retta diconsi armonici quando sia: 
( abcd ) = - 1 , 
L 
