Luigi Cremona 
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epperò anche: 
( bade ) = ( edab ) = ( deba ) = (abdc) = {bacd) = (cdba) = (dcab)=- 1. 
1 punti a, b e così pure e, d diconsi coniugati fra loro (*). 
ad 
Se il punto d si allontana a distanza infinita, il rapporto — ha per 
db 
limite — 1 ; quindi dall’ equazione ( abed ) = — 1 si ha = 1 , ossia c è 
cb 
il punto di mezzo del segmento ab. 
La relazione armonica ( abed ) = — 1 , ossia 
mostra che uno de’ punti c, d , per esempio c, è situato fra a e 6, mentre 
1’ altro punlo d è fuori del segmento finito ab. Laonde , se a coincide con b , 
anche c coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che , se a coincide 
con c, anche d coincide con a. 
La relazione armonica individua uno de* quattro punti , quando sian dati 
gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato. 
Analogamente: quattro rette A , B, C, D , concorrenti in un punto, di- 
consi armoniche , quando si abbia: 
sen (ABCD) = - 1 , 
cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro 
punti armonici. 
5. Sia dato ( fig. 4. a ) un quadrilatero completo , ossia il sistema di 
quattro rette segantisi a due a due in sei punti a , b , c , a', b', c ' . Le tre 
diagonali aa', bb', cc' formano un triangolo afiy. Sia x il punto coniugato ar- 
monico di ^ rispetto a c, c' e sia y il coniugalo armonico di y rispetto a 
b , b'. La retta coniugata armonica di aa f rispetto alle acb ac'b ed anche la 
retta coniugata armonica di a' a rispetto alle a'bc, a'b'c' dovranno passare per 
x e per y. Dunque questi punti coincidono insieme con a, punto comune al- 
le bb', cc'. Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle 
altre due. 
Di qui una semplice regola per costruire uno de’ quattro punti armonici 
a , y , b , b' , quando siano dati gli altri tre. 
Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo ( sistema di 
quattro punti situati a due a due in sei rette ) e dà luogo alla costruzione di 
un fascio armonico di quattro rette. 
6. Quattro punti m { , m 2 , «i 3 , in linea retta , riferiti ad un punto o 
della retta medesima, siano rappresentati dall’equazione di quarto grado: 
2) A . òm i -h 4B . òm 5 -+* 6 C . dmr -i- 4D .om -r E = 0 , 
cioè siano om { , om ì , om ^ , om 4 le radici dell’ equazione medesima. 
