Introduz. AD. UNA TEORIA geometrica ec. 317 
Ora sia (i uno de’ centri armonici, del grado n — 2 , del sistema f» 1 m 2 ...»n n __ 1 
rispetto ad un punto 6 ( della retta data ) ; avremo analogamente alla 6) : 
.>" -S [ ( « - 1 ) o'i + 2 ( in ), } { ( » - 2 ) o'i S( im ) , -* 2 S( im ), j 
+ ( - 1 )”- 2 { o'i S( im )„_ 2 + ( n - 1 ) S( im j = 0 . 
In questa equazione posto per 2 (im) r il valore antecedentemente scritto, si 
ottiene : 
oi . o'i [ n(n— — (n— l)(n — 2) -r-(n- 2) (n-3)*^-* S(«a) a ... } 
-+- (o* *+• o'i ) { (n-l) 7 ^ a S(io) 1 -2 (»■—• 2)ìft”"" 3 2(ta) a -*- 3 (»- 3 Ì^ n “^ 2 (io) 3 ... } 
h- { 1 . 2 «fi 2(ta) 2 — 2 . 3 t’fi S( tei) 3 -+- 3 . 4 tfi” ^(*d) 4. . . } — 0 ; 
il qual risultato, essendo simmetrico rispetto ad 0, 0, significa che: 
Se f sono i centri armonici, di grado n — 1 , del sistema 
a 4 a 2 . . . a n rispetto al polo 0, e se sono i centri armonici, di 
grado n — 1 , dello stesso sistema a t a 2 ... a» rispetto ad un altro polo 0' ; 
i centri armonici, del grado n — 2, del sistema m { m 2 m n _ K rispetto 
al polo o r coincidono coi centri armonici , del grado » — 2 , del sistema 
. . .m' w _i rispetto al polo 0. 
Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri 
armonici di grado qualunque , e allora s’ enuncia cosi : 
Se m 1 m 2 ...m r sono i centri armonici, di grado r, del siste- 
ma dato a { a 2 . . . a» rispetto al polo o , e se sono i 
centri armonici, di grado r', dello stesso sistema dato rispetto 
ad un'altro polo 0', i centri armonici, di grado r-t-r— n, del si- 
stema m { m . 2 . . . m r rispetto al polo o f coincidono coi centri armo- 
nici, di grado r + r — n, del sistema . . . . m ' r , rispetto al 
polo 0. 
15 . Se m e ;ì sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, 
dei sistemi a { a^...a n ed a 2 a 5 ...a*, rispetto al polo o, si avrà: 
n— 1 _ 1 J_ 1 
0(i oa 2 oa- oa n 
Si supponga [i coincidente con a t : in tal caso le due equazioni precedenti . 
paragonate fra loro, danno om = 0(i. Dunque: 
Se a { è il centro armonico, di primo grado, del sistema (li 
punti a 2 a 3 ...OM rispetto al polo 0, il punto a { è anche il centro 
armonico, di primo grado, del sistema a 1 a 2 ...a n rispetto allo stes- 
so polo. 
16 . Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti a t a 2 ...an 
fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che r punti a n a w _,...a»_r+i 
