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Luigi Cremona 
coincidano in un solo, che denoteremo con a 0 . Allora , se nella equazione 5) 
si assume a 0 in luogo dell* origine arbitraria i , risulta evidentemente : 
2 ( ia ) » = 0 , 2 ( ia — 0 , 2 ( ia )„_r+i = 0 , 
onde I 5 equazione 5) riesce divisibile per a 0 m , cioè r — 1 centri armonici 
del grado n — 1 cadono in a 0 , e ciò qualunque sia il polo o. Ne segue inol- 
tre , avuto riguardo al teorema (13), che in a 0 cadono r — 2 centri armo- 
nici di grado n — 2 ; r — 3 centri armonici di grado n — 3 , . . . ed un den- 
tro armonico di grado n — r 1 . 
17. L’equazione 3) moltiplicata per óm r e per ( — 1 ) r oa { . oa 2 . . . oa n 
dwi r 1 ) ™ s ( oa )*_r+t h 
»(n — !)...(»- 
( » — r-t-2) (n — r-f-1 ) _ 
1.2 ° 
2(o a )» = #. 
Suppongo ora che il polo o coincida , insieme con a n a w _ t . . . «n_s*H , in 
un unico punto. Allora si ha: 
2 (ofl)n = 0 , S(oa) w-1 =:0, . . . 2(oa )«j*h = 0 > 
quindi 1’ equazione che precede riesce divisibile per om s , ossia i! polo o tien 
luogo di s centri armonici di grado qualunque. Gli altri r — s centri armoni- 
ci , di grado r, sono dati dall’ equazione: 
om /s ” s 2 ( oa )„_ r — (n — r-hl ) òm^ -1 2 ( oa 
(n r-t-2),(n-— r-t-1 ^ — f _ s _ 2 v /^, t — 0. 
ove le somme 2(oa) contengono solamente i punti a { a 2 • • • *• I^nncjue ^ gli 
altri r — s punti m , che insieme ad o preso s volte costituiscono i centri ar- 
monici, di grado r, del sistema a { a 2 ...a n rispetto al polo o, sono ì centri 
armonici, di grado r~s, del sistema a { a 2 . . . a„_, rispetto allo stesso polo o. 
Si noti poi che, per s = r -+- 1 , l’ultima equazione è sodisfatta iden- 
ticamente, qualunque sia m. Cioè, ser+1 punti a ed il polo o coincidono 
insieme, i centri armonici del grado r riescono indeterminati, onde potrà as- 
sumersi come tale uu punto qualunque della retta a { a 2 ... 
18. Abbiasi, come sopra ( 11 ), in una retta R ( fig. 5. ) un siste- 
ma di n punti a,a , 2 . . • a« ed un polo o; sia inoltre m un centro armonico 
di grado r, onde fra i segmenti ma, oa sussisterà la relazione 1). Assunto 
un punto arbitrario c fuori di R e da esso tirate le rette ai punti o, a , m . 
seghinsi queste con una trasversale qualunque R! nei punti o , a, m . Allora 
si avrà: 
