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Luigi Cremona 
gli assi armonici , di grado r ■+• r' — n, del sistema M, , rispetto alla 
retta 0', coincidono cogli assi armonici, di grado r -h r' — n, del sistema 
M jjf 3 . . . M'r , rispetto alla retta O. 
Qualunque sia la retta 0, se r fra le rette date AiA^.. . A n coincidono 
in una sola , questa tien luogo di r — 1 assi armonici di grado n — 1 , di r — 2 
assi armonici di grado n — 2 ,... di un asse armonico di grado n — r — 1. 
Se s rette A„An^i A„_ 9+i coincidono fra loro e colla retta O, que- 
sta tien luogo di s assi armonici di qualunque grado , e gli altri r — s assi 
armonici, di grado r, sono gli assi armonici, di grado r — s, del sistema 
A\A>2 - - - A ÌX _ S rispetto ad O. 
20. Se al n.° 18 la trasversale R! vien condotta pel punto o, ossia se 
la retta R si fa girare intorno ad o, il teorema ivi dimostrato può essere enun- 
ciato così: 
Siano date n rette A\A%...A n concorrenti in un punto c. Se per un 
polo fisso o si conduce una trasversale arbitraria R che seghi quelle n rette 
ne’ punti a i a ì ...a nì i centri armonici di grado r, del sistema a i a 2 ...a n , ri- 
spetto al polo o, generano, ruotando R intorno ad o, r rette M\M 2 - • ■ M r con- 
correnti in c. 
E dagli ultimi due teoremi (19) segue: 
Se s rette AnAn __± ... /4n_s-H ^ ra le ^ ate coincidono in una sola i4 0 , 
questa tien luogo di s— (n — r) delle rette M { M 2 ■ • • M r . Se inoltre Spassa 
pel polo o, essa tien luogo di s delle rette M\M 2 ■ • • M r - Le rimanenti r — s, 
Ira queste rette ^ sono il luogo de’ centri armonici di grado r — s, (rispetto al 
polo o ) de’ punti, in cui R sega le rette A ì ‘Ai..,A n ^. 
IRT. IV. Teoria dell* involuzione. 
21. Data una retta, sia o un punto fìsso in essa , a un punto variabile; 
inoltre siano Aq , k. 2 ... h v .. quantità costanti ed a una quantità variabile. 
Ora abbiasi un’ equazione della forma : 
1) k n oa -t- h n _i oa 1 \ . . -+-fc 0 -t- o | hn oa* ■+• oa ‘~^\ .-t~A 0 \ = 0. 
Ogni valore di © dà n valori di oa, cioè dà un gruppo di n punti a. 
Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di oa, 
se ne dedurrà il corrispondente valore di o, e quindi, per mezzo dell’equa- 
zione medesima , si otterranno gli altri n — 1 valori di oa. Dunque , per ogni 
valore di o, l’equazione 1) rappresenta un gruppo di n punti così legati fra 
loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. 11 sistema degli in- 
finiti gruppi di n punti, corrispondenti agli infiniti valori di o, dicesi involu- 
zione del grado n (*). 
Una semplice punteggiata può considerarsi come un’ involuzione di. pri- 
mo grado ( 7 ). 
*) Jonquikres, Gènéralisation de la théorie de l’involution (Annali di Matematica, tomo 2 
ia 1859, pag. 86 ). 
