Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
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Un’involuzione è determinata da due gruppi. Infatti,, se le equazioni: 
k n oa -t-fcn_ioa t l ...= 0, h n oa -+- 4>j_i oa” *...= 0 
rappresentano i due gruppi dati , ogni altro gruppo dell’ involuzione sarà rap- 
presentato dalla : 
k n oa -+• k„_i oa* \ . . ■+• o (h n oa” H- h n _ { oa 1 . . . ) = 0 , 
ove o sia una quantità arbitraria. 
22. Ogni qualvolta due punti a d’ uno stesso gruppo coincidano in un 
solo , diremo che questo è un punto doppio dell’ involuzione. Quanti punti doppi 
ha V involuzione rappresentata dall’equazione 1)? La condizione che quest’e- 
quazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante 
della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado 2(n— 1), 
de’ coefficienti dell’equazione; dunque, eguagliandolo a zero, sì avrà un’equa- 
zione del grado 2(n — 1 ) in o. Ciò significa esservi 2(n — 1) gruppi, cia- 
scuno de* quali contiene due punti coincidenti, ossia: 
Un’involuzione del grado n h a 2 ( n — 1 ) punti doppi. 
23. Siano a l a i ...a n gli n punti costituenti un dato gruppo. Il centro 
armonico m, di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo o preso ad 
arbitrio sulla retta data, è determinato dall’equazione: 
donde, avuto riguardo alla 1), si trae: 
k 0 -ho h 0 
*, -ho 
Quindi, il segmento compreso fra due punti m, m', centri armonici di 
due gruppi diversi, si potrà esprimere così: 
_ „ m = " )(»-»’) 
(*! + oh t )(*, + .'*,) - 
Siano ora n*i , m 2 , m 3 , i centri armonici ( di primo grado < 
al polo o ) di quattro gruppi , corrispondenti a quattro valori <?, , o 2 
di o ; avremo : 
W ) = 
questo risultato non si altera, se invece di o si assuma un altro punto; cioè 
il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal po- 
lo o. Re segue che la serie de’ centri armonici (di primo grado) di tutt’ i 
gruppi , rispetto ad un polo o , e la serie de’ centri armonici ( dello stesso 
grado ) de’ gruppi medesimi , rispetto ad un altro polo o , sono due punteg- 
giate projetlive. 
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