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Luigi Cremona 
Per rapporto (inarmonico di quattro gruppi di un ’ involuzione , intende- 
remo il rapporto anarmonico de’ loro centri armonici di primo grado , relativi 
ad un polo arbitrario. 
Sia m uno de’ centri armonici , di grado r ( rispetto ad un polo o ) , di 
un dato gruppo dell’involuzione 1). L’equazione 6) del n.° 17, avuto riguar- 
do alla 1) del n.° 21, ci darà: 
2) m ( k r + uhr ) -+- ( « - r + 1 ) Òm ~~ [ ( k r _ i -4- ohr_i ) 
n(r»-l)...(«-r-Hl) 
(A 0 -h«A 0 ) = 0; 
dunque: i centri armonici, di grado r, de’ gruppi dell’involuzione 1) formano 
una nuova involuzione del grado r. Ogni valore di o dà un gruppo dell’ in- 
voluzione 1) ed un gruppo dell' involuzione 2) , cioè i gruppi delle due invo- 
luzioni si corrispondono tra loro ad uno ad uno. E siccome il rapporto anar- 
monico di quattro gruppi dipende esclusivamente dai quattro corrispondenti 
valori di a , così il rapporto anarmonico di quattro gruppi dell’ involuzione 2) 
è eguale al rapporto anarmonico de 7 quattro corrispondeuti gruppi dell’ involu- 
zione 1). La qual cosa risulta anche da ciò, che due gruppi corrispondenti 
delle due involuzioni hanno, rispetto al polo o, lo stesso centro armonico di 
primo gr&do (13). 
24. Due involuzioni date sopra una stessa retta o sopra due rette^ diverse 
si diranno proiettive, quando i centri armonici, di primo grado, de’ gruppi 
dell' una , rispetto ad un polo qualunque , ed i centri armonici , di primo gra- 
do , de' gruppi dell’ altra , rispetto ad un altro polo qualunque , formino due 
punteggiate proiettive. Da questa definizione e da quella del rapporto anarmo- 
nico di quattro gruppi di un’ involuzione si raccoglie che : 
Date due' involuzioni proiettive, il rapporto anarmonico di 
quattro gruppi dell’ una è eguale al rapporto anarmonico de’ quat- 
tro corrispondenti gruppi dell’ altra. 
Cioè il teorema enunciato alla fine del n.° 8 comprende anche le involu- 
zioni, purché queste si risguardino quali forme geometriche, i cui elementi 
sono gruppi di punti. 
(a) Cerchiamo come si esprima la proiettivi di due involuzioni. 
La prima di esse si rappresenti coll’ equazione 1) e la seconda con que- 
st’ altra : 
3) Krn.OA* + . . .-yK o -b0 \H m .OA m -h...+H 0 j=0, 
ove A è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda invo- 
luzione; 0 è 1’ origiue de’ segmenti in questa retta; H m , sono coef- 
ficienti costanti. __ __ 
Supponiamo, com' è evidentemente lecito, che ai gruppi o — 0, 
ersi della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi 6 — 0, 
0 = oo, 0=1. Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due grup- 
pi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei 
quattro gruppi o = ( 0 , oo, 1 , o ) della prima involuzione sia eguale a quello 
