Introduz. ad una teoria geometrica ec. 323 
de’ groppi 0 = ( 0 , co , 1 , 0 ) della seconda , cioè dev’ essere o — 0. Dunque 
la seconda involuzione, a cagione della sua projellivilà colla prima, si potrà 
rappreseutare cosi: 
4) K m . OA U -r- . . . + K q h- 0 \ H in . OA n . . . -i- H 0 |=0.. 
Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di o, danno due gruppi corri- 
spondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando o fra le equazioni 
medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei 
punti a, A. 
(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti a, A si pos- 
sono riferire ad una sola e medesima origine; cioè al punto O può sostituir- 
si o. In questo caso , si può anche domandare quante volte il punto a coincida 
con uno de 9 corrispondenti punti A. Eliminato o dalle 1), 4) e posto oa in 
luogo di OA , si ha la : 
5) {k n . (Btn . oa%-...-4-tf 0 ) 
- ( ha . ~oa' . . . -i- h Q ) ( K m . 7a nì -t- . . . -4- K 0 ) = 0 , 
equazione del grado n -f- m rispetto ad oa. Dunque : 
In una retta, nella quale sian date due involuzioni proiettive, 
1’ una di grado n, l’altra di grado m, esistono generalmente 
n ■+• m punti, ciascun de’ quali considerato come appartenente 
alla prima involuzione, coincide con uno de’ punti corrispondenti 
nella seconda. 
Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni. 
( c) Se F equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore oa , es- 
sa rappresenterebbe un’ involuzione del grado n , i cui gruppi avrebbero r 
punti comuni , tutti riuniti in o ; ossia essa rappresenterebbe sostanzialmente 
un’ involuzione del grado n — r , a ciascun gruppo della quale è aggiunto r 
volte il punto o. In tal caso è manifesto che anche il primo membro del- 
1’ equazione 5) sarà divisibile per oa ; cioè gli n -i- m punti comuni alle due 
involuzioni proposte saranno costituiti dal punto o preso r volte e dagli m-t-n — r 
punti comuni alla seconda involuzione ( di grado m ) ed a quella di grado 
n — - r , alla quale si riduce la prima , spogliandone i gruppi del punto o. 
Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero s volte il pun- 
to o, questo figurerebbe r -+- s volte fra i punti comuni alle due involuzioni. 
( d ) Se un gruppo della prima involuzione ( per es. quello che si ha po- 
nendo o=0) contiene r volte uno stesso punto o, e se il corrispondente 
gruppo della seconda involuzione contiene s volte Io stesso punto o , ove sia 
s > r , è evidente che 1’ equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore 
oa , cioè il punto o terrà il posto di r punti comuni alle due involuzioni. 
(e) È superfluo accennare che, per le rette concorrenti in uno stesso pun- 
to , si può stabilire una teoria dell’ involuzione affatto analoga a quella suespo- 
sta pei punti di una retta. 
