Luigi Cremona 
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25. Merita speciale studio l' involuzione di secondo grado o quadratica , 
per la quale, fatto n — 2 nella !)_, si ha un’equazione della forma: 
6) h 2 .oa~-*-k { .oa + k 0 -bo(h. 2 .oa -hh [ .oa-t-/t 0 ) = 0. 
Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniu- 
gati ; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita. 
Posta 1’ origine o de’ segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il grup- 
po, al quale esso appartiene, come corrispondente ad « = oo, dovrà essere 
h 2 = A 0 = 0. Pertanto , se a, a' sono due punti coniugati qualunque , l’ equa- 
zione 6) dà: 
Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due 
punteggiate (9): 
ia . fa' = cost. 
si vede che l’ involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive , le 
quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti %, f corrispon- 
denti ai punti all’ infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projet- 
tive sovrapposte formano un'involuzione ( quadratica ), quando un punto a , 
considerato come appartenente all’ una o all’altra punteggiata, ha per corri- 
spondente un solo e medesimo punto a ! . 
Da tale proprietà si conclude che nell’ involuzione quadratica, 
il rapporto anarmonico df quattro punti è eguale a quel- 
lo de' loro coniugati. 
(a) Siano e ,f\ due punti doppi (22) dell’involuzione, determinati dal- 
T eguaglianza oe = of — cost. ; avremo : 
cioè il rapporto anarmonico (efaa')è eguale al suo reciproco , epperò è == — I, 
non potendo mai il rapporto anarmonico di quattro punti distinti essere egua- 
le all' unità positiva. Dunque : nell' involuzione quadratica, i due 
punti doppi e due punti coniugati qualunque formano un 
sistema armonico. 
Ne segue che un’ involuzione di secondo grado si può considerare come 
la serie delle infinite coppie di punti aa! che dividono armonicamente un dato 
segmento ef. 
(b) Due involuzioni quadratiche situate in una stessa retta hanno un grup- 
po comune, cioè vi sono due punti a, a! tali, che il segmento aa! è diviso 
armonicamente si dai punti doppi e, f della prima ^ che dai punti doppi g,k 
della seconda involuzione. Infatti: sia preso un punto qualunque m nella retta 
data; siano m' ed m { , i coniugati di m nelle due involuzioni. Variando m, i 
pumi m m t , generano due punteggiale projettive, i punti comuni delle quali 
costituiscono evidentemente il gruppo comune alle due involuzioni proposte. 
