Introduz. ad una teoria geometrica ec. 325 
E pure evidente che due involuzioni di grado eguale, ma supcriore al 
secondo, situale in una stessa retta, non avranno in generale alcun gruppo 
comune. 
26. La teoria dell’ involuzione quadratica ci servirà nel risolvere il pro- 
blema che segue. 
Se abcd sono quattro punti in linea retta , abbiamo denominati fondamen- 
tali ( 1 ) i tre rapporti anarmonici : 
( dbcd ) = À , ( acdb ) = ^ ^ , ( adbc ) = • 
Se i primi due rapporti sono eguali fra loro, vale a dire, se: 
cioè tutti e tre i rapporti anarmonici fondamentali sono eguali fra loro. 
Dati i punti abc in mia retta, cerchiamo di determinare in questa un 
punto d , tale che sodisfaccia all’ eguaglianza : 
(abcd) = (acdb), 
ossia : 
( abcd ) = ( cabd ). 
Assunto ad arbitrio nella retta data un punto m , si determini un pun- 
to mi per modo che sia 
( abcm ) = ( cabra' ). 
Variando simultaneamente m, m' generano due punteggiate proiettive, 
nelle quali ai punti a, 6, c } m corrispondono ordinatamente c, a, b, mi. 
Se chiaraansi d, e i punti comuni di queste punteggiate, si avrà: 
( abcd ) = ( cabd ) , ( abce ) = ( cabe ) , 
cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de’ punti d , e. 
Ora siano a, p, y i tre punti della retta data, che rendono armonici i 
tre sistemi (b, c, a, a), (c, a, b, p) , (a, 6, c, y); i due sistemi (a,b,c,y ), 
(a ,c , b , P) saranno proiettivi, e siccome al punto b, considerato come ap- 
partenente all’uno o all’altro sistema, corrisponde sempre c,così le tre cop- 
pie aa, bc, Py sono in involuzione, cioè a è un punto doppio dell’involu- 
zione quadratica determinata dalle coppie bc , Py. L’altro punto doppio della 
stessa involuzione è a, poiché il segmento bc è diviso armonicamente dai pun- 
ti a , a. Dunque a , a dividono armonicamente non solo bc , ma anche pj. 
Si ha perciò: 
( bcaa ) = ( Pyaa } = — 
