326 
Luigi Cremona 
ossia i sistemi ( b , c , a, a), (/?, y 9 a , a) sono projettivi: la qual cosa 
torna a dire che le coppie aa , b jp , cy sono in involuzione (*). 
Da un punto o preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti 
i raggi o(a, a,b, p 9 c,y) e o(d,e), i quali tutti si seghino con una tras- 
versale parallela ad oc nei punti a', a' , b' 9 p' 9 1» , /, d', e. Avremo: 
X — ( acdb ) = ( doo d'b 1 ) — , 
ab 
onde la 7 ) diverrà : 
8) dd' 2 - dd r . db' = 0. 
Essendo ( abcy ) = — 1 , si ha ( db' oo / ) rz — 1 , cioè y' è il punto medio 
del segmento db'. Quindi, per le identità: dd' = y'd' — y'd , db’ = — 2y'a' , 
la 8) diviene: 
9) y'd' 2 = /e' 2 = 3y'd . y'V , 
donde si ricava che y' è il punto medio del segmento d'e' 9 cioè si ha 
(dVooy')= — 1, epperò ( decy ) = — 1. Similmente si dimostra essere (de6/?)= — 1, 
( deaa ) — 1; vale a dire d 9 e sono i punti doppi dell’ involuzione 
(a«; bp 9 cy) (**). 
Il rapporto anarmonico X è dato dall’ equazione 7) , ossia è una radice 
cubica imaginaria di — 1. Per conseguenza , i quattro punti ( dbcd ) od 
( abce ) non possono essere tutti reali. L’ equazione 9) ha il secondo membro 
negativo o positivo , secondo che db' siano punti reali o imaginari coniugati. 
Dunque, se i tre punti dati a, b, c sono tutti reali, i punti de sono imagi- 
nari coniugati 9 ma se due de’ tre punti dati sono imaginari coniugati, i pun- 
ti de sono reali. 
L’ equazione 8) poi mostra che , se db' = 0 , anche dd! — de — 0 ; 
cioè, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti 
anche i punti de. 
27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rap- 
porti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti 
aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di — 1. 
Quattro punti in linea retta siano rappresentati ( 6 ) dall’ e- 
quazione : 
10) A . om -t- 4B . oro 5 -h 6C . om -h AD . om -+- E = 0. 
Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico , si avrà: 
ovvero, sostituendo ai segmenti m { m^ 9 ... le differenze om. 2 — om { 9 . . . : 
(ow»! — om 2 ) (om { —om 7 ) (om 4 — om 2 ) (om 4 — om 3 ) -f-(om 2 — om-) 2 (orni -“om 4 ) 2 = 0* 
