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Cremona 
1* inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto 
medesimo. 
Nel punto di contatto a la curva ha colla tangente A due punti comuni 
(contatto bipunto ); quindi le due linee avranno, in generale, altri n — 2 
punti d’ intersecazione. Se due di questi n — 2 punti coincidono in un solo b , 
la retta A sarà tangente alla curva anche in b. In tal caso, la retta A dice- 
si tangente doppia ; a e b sono i due punti di contatto (*). 
Invece, se una delle n — 2 intersezioni s* avvicina infinitamente ad a, la 
retta A avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso , la retta A dicesi 
tangente stazionaria , perchè, se indichiamo con a , a , a" i tre punti iufini- 
tamente vicini che costituiscono il contatto , essa rappresenta due tangenti suc- 
cessive aa ! , a! a!' ; e può anche dirsi eh’ essa sia una tangente doppia , i cui 
punti di contatto a, a' sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si sup- 
pone generata dal movimento di una retta , quando questa arriva nella posizio- 
ne A cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel 
senso opposto. 11 punto di contatto a della curva colla tangente stazionaria 
chiamasi flesso, 'perchè ivi la retta A tocca e sega la curva, onde questa 
passa dall’ una all’ altra banda della retta medesima. 
30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe m. Se A è una 
posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto a 
ove A è incontrata dalla tangente successiva , è il punto in cui la retta A toc- 
ca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo 
del punto comune a due successive posizioni della retta stessa. 
Per un punto qualunque si possono condurre , in generale , m tangenti 
alla curva. Ma se si considera un punto a della curva, due di quelle m tan- 
genti sono successive, cioè concidono nella tangente A. Quindi per a passe- 
ranno , inoltre , m — 2 rette tangenti alla curva io altri punti. 
Se due di queste m — 2 tangenti coincidono in una sola retta B , la 
curva ha in a due tangenti A, B 3 cioè passa due volte per a , formando ivi 
un nodo ; le rette A e B toccano in a i due rami di curva che ivi s’ incro- 
ciano. In questo caso, il punto a dicesi punto doppio (*). 
Invece , se una delle m — 2 tangenti coincide con A , questa retta rap- 
presenta tre tangenti successive A , A', A ", ed il punto a può considerarsi 
come un punto doppio, le cui tangenti A, A' coincidano (cioè, il cui nodo 
sia ridotto ad un punto ). Nel caso che si considera , il punto a dicesi cuspi- 
de o regresso o punto stazionario , perchè esso sappresenta V intersezione della 
tangente A con A’ e di A' con A" ; ossia perchè , se s’ imagina la curva ge- 
nerata da un punto mobile, quando questo arriva in a si arresta, rovescia la 
direzione del suo moto e quindi passa dalla parte Opposta della tangente A 
( tangente cuspidale ). 
Dalle formole di Pliicker, che saranno dimostrate in seguito ( xvi. ) , 
si raccoglie che una curva-luogo di dato ordine non ha in generale punti 
