Introduz. ad una teoria geometrica ec. 329 
doppi nè cuspidi, bensì tangenti doppie e flessi; e che una curva-inviluppo 
di data classe è in generale priva di tangenti singolari, ma possiede invece 
punti doppi e punti stazionari. 
Però, se la curva è di natura speciale, vi potranuo anche essere punti 
o tangenti singolari di più elevata molliplicità. Una tangente si dirà multipla 
secondo il numero r , ossia ( r ) pla , quando tocchi la curva in r punti , i qua- 
li possono essere tutti distinti, o in parte o tutti coincidenti. Un punto si 
dirà ( r ) pl °, quando per esso la curva passi r volte , epperò ammetta ivi r 
tangenti tutte distinte, ovvero in parte o tutte sovrapposte. 
31. Se una curva ha un punto ( r f l0 a, ogni retta condotta per a sega 
ivi r volte la curva, onde il punto a equivale ad r intersezioni della retta 
colia curva. Ma se la retta tocca uno de’ rami della curva, passanti per a, 
essa avrà in comune con questa anche quel punto di esso ramo che è succes- 
sivo ad a ; cioè questo punto conta come r -f- 1 intersezioni della curva colla 
tangente. Dunque , fra tutte le rette condotte per a ve ne sono al più r ( le 
tangenti agli r rami ) che segano ivi la curva in r h- 1 punti coincidenti ; ep- 
però, se vi fossero r -f- 1 rette dotate di tale proprietà, questa competerebbe 
ad ogni altra retta condotta per a, cioè a sarebbe un punto multiplo secondo 
il numero r + 1. 
Analogamente : se una curva ha una tangente A multipla secondo r , 
questa conta per r tangenti condotte da un punto preso ad arbitrio in essa , 
ma conta per r 1 tangenti rispetto a ciascuno de’ punti di contatto della 
curva con A. Cioè da ogni punto di A partono r tangenti coincidenti con A ; 
e vi sono al più r punti in questa retta , da ciascun de’ quali partono r -+- 1 
tangenti coincidenti colla retta stessa. Onde, se vi fosse un punto di più, 
dotato di tale proprietà , questa spetterebbe a tuli* i punti di A , e per con- 
seguenza questa retta sarebbe una tangente multipla secondo r + 1. 
Da queste poche premesse segue che: 
Se una linea dell’ ordine n ha un punto ( n Y l ° a , essa non è altro che 
il sistema di » rette concorrenti in a. Infatti, la retta che unisce a ad un 
altro punto qualunque del luogo ha, con questo, n + 1 punti comuni, eppe- 
rò fa parte del luogo medesimo. 
Così , se un inviluppo della classe m ha una tangente ( m ) pla , esso è il 
sistema di m punti situati sopra questa retta. 
Una curva semplice dell 9 ordine n non può avere , oltre ad un punto 
( n — 1 ) pl ° anche un punto doppio , perchè la retta che unisce questi due 
punti avrebbe n -+- 1 intersezioni comuni colla curva. Analogamente , una curva 
semplice della classe w» non può avere una tangente ( m — 1 ) pla ed inoltre 
un* altra tangente doppia , perchè esse rappresenterebbero m 1 tangenti con- 
correnti nel punto coniuue alle medesime. 
Ut. VI. Punti e tangenti comuni a due curve. 
32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano 
n, n r ? Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni 
dipenda unicamente dai numeri n, ri, talché rimanga invariato, sostituendo 
alle corvè date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d’ ordine ri si 
T. XII. 
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