336 Luigi Cremona 
Se nei lati BC 3 CA , AB di un triangolo esistouo sei punti aa' , bb', cc' 
tali che si abbia la relazione : 
4) qg . AB . bC .b'C . cA . c'A _ 
aC . a'C . bA . b' A . cB . c'B~~ ’ 
i sei punti aa'bb'cc' sono in una curva di second’ ordine. 
Se i punti a'b'c coincidono rispettivamente con abc , cioè se la curva 
tocca i lati del triangolo in a, b, c, la precedente relazione diviene: 
aB .bC .cA t 
aC . bA . cB 
De’ due segni , nati dall’ estrazione della radice quadrata , non può pren- 
dersi il positivo , poiché in tal caso , pel teorema di Menelao , i tre punti abc 
sarebbero in una retta: il che è impossibile, non potendo una curva di se- 
cond’ ordine essere incontrata da una retta in più che due punti. Preso adun- 
que il segno negativo, si conclude, in virtù del teorema di CEVA,che le ret- 
te Aa, Bb , Cc concorrono in uno stesso punto. Cioè: se una curva di se- 
cond’ ordine è inscritta in un triangolo , le rette che ne uniscono i vertici ai 
punti di contatto de’ lati opposti passano per uno stesso punto. 
( a ) Per n = 3 , dal teorema di Càrnot si ricava che , se i Iati d v un 
triangolo ABC segano una curva del terz’ ordine ( o più brevemente cubica ) 
in nove punti aa'a ", bb'b", cc'c" , ha luogo la relazione segmentaria : 
qg . a'B . a"B . bC . b'C . b"C . cA . c 'A . c" A _ ^ 
aC . a’C- . a 'C . bA . b' A . b" A . cB . c B . c 'B ~ 
Se i sei punti aa'bb'cc sono in una curva di second’ ordine , si avrà an- 
che la relazione 4) , per la quale dividendo la 5) si ottiene : 
a 'B . b'C . c'A _ 
a'C . b" A . c"B ~~ 
cioè i punti ab"c" saranno in linea retta. E viceversa, se a’b"c" sono in li- 
nea retta , gli altri sei punti sono in una curva di second’ ordine. 
( b ) Quando il luogo di second’ ordine aalbb’cc’ riducasi al sistema di 
due rette coincidenti , si ha : 
de geometrie pure , Paris* 1 856 L *pf ^ m" 11 * C " m ^ 3 0rdine 
