Introduz. ad una teoria geometrica ec. 345 
punto a, ve n’ ha una per la quale a è un flesso e ve n’ ha un’ altra per la 
quale a è un punto doppio. 
48. Può accadere che un punto-base a sia un punto doppio per tutte le 
curve del fascio: nel qual caso, quel punto equivale a quattro intersezioni di 
due qualunque delle curve del fascio (32), epperò i rimanenti punti-base 
saranno n 2 — 4. Allora è manifesto che le coppie di tangenti alle singole cur- 
ve nel loro punto doppio comune formano un' involuzione quadratica : questa 
ha due raggi doppi, epperò vi sono due curve nel fascio , per le quali a è 
una cuspide. 
Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio a, una tangente 
comune, qualunque retta condotta per a e considerata come seconda tangente 
determina una curva del fascio. Dunque, in questo caso, vi sarà una sola 
curva per la quale a sia una cuspide. 
Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio a, entrambe le 
tangenti A, A' comuni, potremo determinare una di quelle curve per modo 
che una retta passante per a e diversa da A , A' , abbia ivi colla curva tre 
punti comuni. Dunque (31), nel caso che si considera, vi è una curva nei 
fascio , per la quale a è un punto triplo. Ciò vale anche quando le rette A , 
A' coincidano, cioè tutte le curve del fascio abbiano in a una cuspide, colla 
tangente comune. 
Analogamente: se a è un punto (r) pl ° per tutte le curve del fascio, e 
se questi hanno ivi le r tangenti comuni, v’ha una curva del fascio, per la 
quale a è un punto multiplo secondo r -+• 1 . 
49. Se le curve d'ordine n, di un dato fascio, sono segate da una 
trasversale arbitraria, le intersezioni di questa con ciascuna curva formano un 
gruppo di n punti; e gli infiniti gruppi analoghi, determinali dalle infinite 
curve del fascio , costituiscono un’ involuzione di grado n. Infatti , per un pun- 
to qualunque » della trasversale passa una sola curva del fascio, la quale incontra 
la trasversale medesima negli altri n — 1 punti del gruppo a cui appartiene 
*. Ciascun gruppo è dunque determinato da uno qualunque de’ suoi punti: ciò 
che costituisce precisamente il carattere dell’involuzione (21). 
L' involuzione di cui si tratta ha 2 ( n •— 1 ) punti doppi (22); dunque: 
Fra 1 e^ curve d’ ordine n, d’ un fascio, ve ne sono 
È evidente che un fascio d' ordine nel’ involuzione di grado n , eh' esso 
determina sopra una data retta, sono due forme geometriche proiettive: cioè 
il rapporto anarmonico di quattro curve del fascio ed il rapporto anarmonico 
de’ quattro gruppi di punti , in cui esse segano la retta data , sono eguali. 
Due fasci di curve si diranno projettivi quando siano rispettivamente 
proiettivi a due stelle proiettive fra loro ; ossia quaudo le curve de’ due fasci 
si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici 
di quattro curve dell’ un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell' altro 
sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una 
stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono proiettive. 
50. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine n, l’altro d’ordine 
n'; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? 
Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo cosi due involu- 
zioni proiettive, 1’ una di grado n, l’altra di grado n'. Queste involuzioni 
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