Introduz. ad una teoria geometrica ec. 347 
Se la corrispondente curva C n ' del secondo fascio passa per o, il teorema ge- 
nerale applicato ad una retta qualunque condotta per o (r = 1 , r' = 0, $ = 1 , 
s' = 1 ) mostra eh’ essa incontra C n +n' in due punti riuniti in o j cioè questo 
punto è doppio per C n +n- 
(c) Nella ipotesi (b), se C n ' ha in o un punto multiplo e si applica il 
teorema generale ad una delle due tangenti in o aC n (r=l,r' = 0,s = 2, 
s > 1 ) , troviamo che questa retta ha tre punti comuni con C n +n ' riuniti in 
o ; dunque questa curva ha in comune con C n non solo il punto doppio o , ma 
anche le relative tangenti. 
(d) Fatta ancora l’ipotesi (b), se R, tangente comune a41e curve del 
primo fascio in o, è anche una delle tangenti ai due rami di C n (r = 2, 
r' = 0, s = 1 , s' = 1 ) , essa sarà tangente ad uno de’ due rami di Cn+n'- 
(e) E se, oltre a ciò, la seconda tangente di C n in o tocca ivi anche 
C n ' 5 applicando a questa retta il teorema generale ( r = 1 , r'=0, 8 = 2, 
s' = 2) , troviamo eh’ essa è la tangente del secondo ramo di C n + n '. Donde 
segue che, se C n ha in o le due tangenti coincidenti colla retta R, tangente 
comune alle curve del primo fascio, e se questa retta tocca nel medesimo 
punto anche C n ' , la curva C n + n ' avrà in o una cuspide colla tangente R. 
(f) Due curve corrispondenti C n , C n ' passino uno stesso numero i di 
volte per un punto o. Se R è una retta condotta ad arbitrio per o, si ricava 
dal teorema generale (r = r' = 0 , s = s' = *) che in o coincidono i interse- 
zioni di Cn+ n ' con R, cioè o è un punto multiplo secondo i per la curva 
Cn+n' • 
(g) Se C n passa t volte e C n ' un maggior numero i' di volte per o, 
questo punto è ancora multiplo secondo i per Cn+n'- Inoltre, se si considera 
una delle tangenti di C n in o , il teorema generale ( r = r' = 0 , s = « -r- 1 , 
$' > i) dà i + 1 intersezioni di questa retta con C,+ n ' riunite in o. Dunque 
le tangenti agli i rami di C n toccano anche gli t rami di C n +n' - 
Nello stesso modo si potrebbe dimostrare anche quanto è esposto nel 
n° seguente. 
52. Supponiamo ora che le basi de’ due fasci abbiano un punto comune 
a, il quale sia multiplo secondo r per le curve del primo fascio e multiplo 
secondo r' per le curve del secondo. Ogni curva del primo fascio ha in a uu 
gruppo di r tangenti: gli analoghi gruppi corrispoudenti alle varie curve del 
fascio medesimo formano un’ involuzione di grado r. Similmente avremo un’ in- 
voluzione di grado r' formata dalle tangenti in a alle curve del secondo fascio. 
Le due involuzioni hanno r -+- r' raggi comuni (24, b), ciascuno de’ quali, 
toccando in a due curve corrispondenti de’ due fasci , tocca ivi anche la curva 
Cn+n ’ • Laonde questa curva ha r + r rami passanti per a, e le tangenti a 
questi rami sono i raggi comuni alle due involuzioni. 
( a ) Da ciò segue che , se tutte le curve d’ uno stesso fascio hanno alcuna 
tangente comune in a, questa è anche una tangente di Cn+n'. Supposto che 
tutte le r tangenti in a siano comuni alle curve del primo fascio , epperò siano 
tangenti anche alla curva d’ ordine n -i~ n' , le rimanenti r tangenti di questa 
sono evidentemente le r' tangenti di quella curva C n ' del secondo fascio , che 
corrisponde alla curva C n del primo fascio, dotata di un punto multiplo se- 
condo r + 1 in a ( 48 ). 
53. L’ importante teorema ( 50 ) conduce naturalmente a porre questa 
quistione : 
