348 
Luigi Cremona 
Dati quanti punti sono necessari per determinare lina curva dell 9 ordine 
n + n'j formare due fasci proiettivi, Fimo dell 9 ordine n, l’altro dell’ordine 
ri , i quali , colle mutue intersezioni delle curve corrispondenti , generino la 
curva richiesta. 
Ove questo problema sia risoluto , ne conseguirà immediatamente che 
ogni curva data d’ordine n-f-n' può essere generata dalle 
mutue intersezioni delle curve corrispondenti di due fasci 
proiettivi degli ordini n ed ri. 
La soluzione di quel problema fondamentale dipende da alcuni teoremi do- 
vuti ai signori- Chasles e Jonquières, che ora ci proponiamo di esporre. I quali 
teoremi però risguardano soltanto le curve d’ ordine n ■+• ri > 2 , poiché , per 
quelle del second’ ordine , basta la proposizione dimostrata al n.° 50, come si 
vedrà fra poco (59). Ci sia dunque lecito supporre n -+• ri non minore di 3. 
54. Sopra una curva C lv + n ' d’ ordine n -+- ri si suppongano presi n 2 punti 
formanti la base d 9 un fascio d’ordine n, e ritengasi in primo luogo n>ri. 
Siano C„, C' n due curve di questo fascio. Siccome delle n(n + n') interse- 
zioni delle curve Cn + n ' , C n ve ne sono n 2 situate in C \ , così ( 44 ) le altre 
nri saranno sopra una curva C n ' d 9 ordine ri , la quale è determinata , perchè , 
essendo n>ri, si ha n ^ epperò nri ^ (*). Analoga- 
mente : siccome delle n[n-h ri) intersezioni di C n +n' , C' n ve ne sono n 2 sopra 
C n , così le altre nri saranno in una curva C' n ' d’ ordine ri . 
I due luoghi d’ ordine « -+- ri , C n -+* C' n ' e C' n -+• C n ' si segano in ( n-+-n' ) 2 
punti, de' quali n 2 -+• 2nn r = n (n -+- 2n r ) sono situati in Cn+ n '. Quindi, sic- 
come n(n-t-2n') ^ + U - 1 (**) , così (41) anche le 
altre ri' 2 intersezioni di que* due luoghi, ossia gli n' 2 punti comuni a C n ', C'w , 
giacciono in Cn+n' e formano la base d’ un fascio d 9 ordine ri. Così abbiamo 
sopra Cn+n’ due sistemi di punti : 1’ uno di n 2 punti , base d’ un fascio d' or- 
dine n ; 1’ altro di ri' 1 punti , base d’ un secondo fascio d 9 ordine ri. Ogni 
curva C n del primo fascio sega Cn+ n ' in altri nri punti, che determinano una 
curva C n ' del secondo fascio ; e viceversa , questa curva determina la prima. 
Dunque i due fasci sono proiettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti 
C n , C n ' sono tutte situate sopra Cn+ n ' - 
ri +3 
_ (»-»') 
r n > 3 si ha »(n + 2n') = • 2 
(n + n'P + 3 (•» + »') — 2 
