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Luigi Cremona 
57. Siano dati 
(n -*-»') (n + ri 4-3) 
punti, pei quali si vuol far pas- 
sare una curva d’ ordine n 4- ri : cioè si vogliano determinare due fasci d’ 
dini n 3 ri 3 projettivi , in modo che il luogo delle intersezioni delle curve c 
rispondenti sia la curva d’ ordine n 4- ri determinata dai punti dati. 
»(» -fr 3 )-m' (»'-*■ 3) 
Siccome fra gli - 
2 punti, che individuano le 
basi de 5 due fasci, ve ne sono nri — 1 che non si ponno prendere ad arbitrio, 
non si potranno far entrare nelle due basi che 
w(n + 3)+n'(«' + 3) 
-*-(» 
1 ) punti , scelti ad arbitrio fra i dati. 
Di questi rimangono cosi 2nn' ■+■ 1 liberi. Affinchè la curva richiesta passi an- 
che per essi, le curve del primo fascio condotte rispettivamente per quei 2 nri 4-1 
punti dovranno corrispondere projettivamente alle curve del secondo fascio con- 
dotte per gli stessi punti. E siccome nello stabilire la projettività di due for- 
me si possono assumere ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti ( 8 ) , 
dopo di che, ad ogni quarto elemento della prima forma corrisponde un quar- 
to elemento della seconda , determinato dall’ eguaglianza de’ rapporti anarmoni- 
ci ; così la corrispondenza proiettiva di quelle 2 nri 4- 1 coppie di curve som- 
ministrerà ( 2 nri -h 1 ) — 3 = 2 ( nri — 1 ) condizioni : il qual numero è appun- 
to necessario e sufficiente per determinare gli nri — 1 punti incogniti (*). 
58. Il problema suenunciato (53) ammette differenti soluzioni, non solo 
a cagione della molteplice divisibilità del numero esprimente l’ ordine della curva 
domandata in due parti n, ri , ma anche pei diversi modi con cui si potranno 
distribuire fra le basi de' due fasci generatori i punti che si assumono ad ar- 
bitrio (e quindi anche i punti incogniti). 
Da ciò che si è detto al n.° 56 risulta che : 
Art. XI. Costruzione delle curve di second’ ordine. 
59. Se nel teorema (50 ) si pone n = ri = I , si ha : 
Date due stelle proiettive, i cui centri siano i punti 
o, o', il luogo del punto d’ intersezione di due raggi cor- 
rispondenti è una curva di second’ ordine, passante pei 
punti o , o'. 
Reciprocamente: siano o, o due punti fissati ad arbitrio sopra una curva 
di second* ordine ; m un punto variabile della medesima. Movendosi m sulla 
*t Josqoières, Essai sur la génération des courbes eie. p. 13 — 14. 
(**) Chasles , Détermination du nombre de points etc. c. s. 
