Introduz. ad una teoria geometrica ec. 353 
curva, i raggi om , o'm generano due stelle projettive. Quando m è infinita- 
mente vicino ad o, il raggio om diviene tangente alla curva in o; dunque la 
tangente in o è quel raggio della prima stella, che corrisponde alla retta o'o 
considerata come appartenente alla seconda stella. 
Da ciò scende immediata la costruzione della curva di second’ ordine , 
della quale siano dati cinque punti abcoo ’ . Si assumano due di essi , oo , co- 
me centri di due stelle projettive, nelle quali (oa, 6 a) , [ob , o'b ) , (oc , o'c) 
siano tre coppie di raggi corrispondenti. Qualunque altro punto della curva sarà 
l’ intersezione di due raggi corrispondenti di queste stelle ( 3 ). Del resto , que- 
sta costruzione coincide con quella che si deduce dal teorema di Pascal (45, c). 
La qual costruzione si applica , senza modificazioni , anche al caso in cui due 
de’ punti dati siano infinitamente vicini sopra una retta data , ossia in altre pa- 
role , al caso in cui la curva richiesta debba passare per quattro punti dati ed 
in uno di questi toccare una retta data; ecc. 
Se nelle due stelle projettive, i cui centri sono o, o', la retta oo ' corri- 
sponde a sè medesima, ogni punto di essa è comune a due raggi corrispon- 
denti ( sovrapposti ) , epperò quella retta è parte del luogo di second’ ordine 
generato dalle due stelle projettive. Dunque questo luogo è composto della oo 
e di un’ altra retta , la quale conterrà le intersezioni de’ raggi corrispondenti 
delle due stelle (50, b). 
60. Date due punteggiate projettive A, A ' , di qual classe è la curva 
inviluppata dalla retta che unisce due punti corrispondenti? ossia, quante di 
tali rette passano per un punto arbitrario o? Consideriamo le due stelle che 
si ottengono unendo o ai punti della retta A ed ai corrispondenti punti di A' : 
tali stelle sono projettive alle due punteggiate , epperò projettive tra loro. Ogni 
retta che unisca due punti corrispondenti di il. A! e passi per o, è eviden- 
temente un raggio comune delle due stelle, cioè un raggio che coincide col 
proprio corrispondente. Ma due stelle projettive concentriche hanno due raggi 
comuni (10); dunque per o passano due rette , ciascuna delle quali è una tan- 
gente dell’ inviluppo di cui si tratta. Per conseguenza quest’ inviluppo è di 
seconda classe. 
Il punto comune alle due rette date si chiami p o q ' , secondo che si 
consideri come appartenente alla prima o alla seconda punteggiata ; e siano p ' , q 
i punti corrispondenti a p, q'. Le rette pp' (A 1 ) e qq r (A) saranno tangen- 
ti alla curva di seconda classe; dunque questa è tangente alle rette date. 
Reciprocamente : due tangenti fisse qualunque A , X di una curva di 
seconda classe sono incontrate da una tangente variabile M della stessa curva 
in punti a, a' che formano due punteggiate projettive. Quando M è prossima 
a confondersi con A, a è il punto in cui A tocca la curva; dunque A tocca 
la curva nel punto q corrispondente al punto q 1 di A ' , ove questa retta è 
segata da A. 
Di qui si deduce la costruzione , per tangenti , della curva di seconda classe 
determinata da cinque tangenti. Due di queste sono incontrate dalle altre tre 
in tre coppie di punti, i quali, assunti come corrispondenti, individuano due 
punteggiate projettive. Qualunque altra tangente della curva richiesta sarà de- 
terminata da due punti corrispondenti di queste punteggiate. 
Se nelle due rette punteggiate projettive A , A ' , il punto di segamento 
delle due rette corrisponde a sè medesimo , ogni retta condotta per esso unisce 
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