Luigi Cremona 
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due punti corrispondenti ( coincidenti ) ; laonde quel punto è parte dell' invi- 
luppo di seconda classe generato dalle due punteggiate. Cioè quest’ inviluppo 
sarà compósto del detto punto e di un secondo punto , pel quale passeranno 
tutte le rette congiungenti due punti corrispondenti delle punteggiate date (3). 
61. Da un punto qualunque di una curva di seconda classe non può con- 
dursi alcuna retta a toccare altrove la curva (30), cioè una retta che tocchi 
la curva in un punto non può incontrarla in alcun altro punto. Dunque una 
curva di seconda classe è anche di second’ ordine. 
Analogamente si dimostra che una curva di second’ ordine è anche di se- 
conda classe. V’ ha dunque identità fra le curve di second’ ordine e quelle di 
seconda classe: a patto però che si considerino curve semplici. Perchè il si- 
stema di due rette è bensì un luogo di second’ ordine , ma non già una linea 
di seconda classe; e così pure, il sistema di due punti è un inviluppo di se- 
conda classe , senz' essere un luogo di second’ ordine. 
Le curve di second’ ordine e seconda classe si designano ordinariamente 
Col nome di coniche. 
62. Dal teorema (59) risulta che, se abcd sono quattro punti dati di una 
conica ed m un punto variabile della medesima , il rapporto anarmonico de’ quat- 
tro raggi m ( a, b , c, d) è costante, epperò eguale a quello delle rette 
a (a, b, c, d ), ove aa esprime la retta che tocca la conica in a. 
Reciprocamente: dati quattro punti abcd, il luogo di un punto m, tale 
che il rapporto anarmonico delle rette m(a, b, c, d) abbia un valore dato X, 
è una conica passante per abcd, la quale si costruisce assai facilmente. Infatti: 
se s’ indica con aa una retta condotta per a e tale che il rapporto anarmonico 
delle quattro rette a (a, b, c, d) sia eguale a X , la conica richiesta sarà in- 
dividuata dal dover passare per abcd e toccare in a la retta aa. 
Il luogo geometrico qui considerato conduce alla soluzione del seguente 
problema : 
Date cinque rette o' (a r ,b' 9 c r , d' ,e r ) concorrenti in un punto d e dati 
cinque punti abcde , trovare un punte o tale che il fascio di cinque rette 
o(a,b,c,d,e) sia proiettivo al fascio analogo d {a', b' , c' , d', e' ). 
S’ imagini la conica luogo di un punto m tale che i due fasci m (a, b, c, d), 
o' {a' , b r , c' y d' ) abbiano lo stesso rapporto anarmonico. E similmente si 
imagini la conica luogo di un punto n tale che i due fasci n (a, b, c, e), 
o ( a', V , c , e’ ) abbiano lo stesso rapporto anarmonico. La prima conica passa 
pei punti abcd ; la seconda per abce m , entrambe poi sono pienamente indivi- 
duate. 
Ora, siccome il richiesto punto o dee possedere sì la proprietà del pun- 
to m che quella del punto n, così esso sarà situato in entrambe le coniche. 
Queste hanno tre punti comuni abc dati a priori; dunque la quarta loro in- 
tersezione sarà il punto domandato. Questo punto si costruisce senza previa- 
mente descrivere le due curve; come si mostrerà qui appresso. 
63. Le coniche passanti per gli stessi quattro punti abeo formano un fa- 
scio di second’ ordine. Fra quelle coniche ve ne sono tre, ciascuna delle quali 
è il sistema di due rette: esse sono le tre coppie de’ Iati opposti (bc,ao), 
ica, bo) , (ab, co) del quadrangolo completo a cui sono circoscritte tutte 
le coniche proposte. 
Se per un vertice del quadrangolo, ex. gr. per a, si conduce un’ arbi- 
