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Luigi Cremona 
corrispondenti coniche è una curva di terz’ ordine (o cw- 
bica } passante pei quattro punti comuni alle coniche e 
pel centro della stella. 
Se o è il centro della stella , la tangente in o alla cubica è il raggio 
corrispondente a quella conica ( del fascio ) che passa per o. 
Se a è uno de 9 punti-base del fascio di coniche , la tangente in a alia 
cubica è la retta che nel punto medesimo tocca la conica corrispondente al 
raggio oa (51 , a). 
1 teoremi inversi del precedente si ricavano da quello del n.° 54 : 
1. ° Fissati ad arbitrio in una cubica quattro punti abcd, ogni conica 
descritta per essi sega la cubica in due punti mm ; la retta mm passa per 
uu punto fìsso o della cubica medesima. Le coniche per abcd e le rette per o 
formano due fasci progettivi. Il punto o dicesi opposto ai quattro punti abcd. 
2. ° Fissati ad arbitrio in una cubica tre punti abc ed un altro punto 
o, ogni retta condotta per o sega la curva in due punti mm' ; la conica de- 
scritta per abcmm' passa per un altro punto fisso d della cubica. Le coniche 
per abcd e le rette per o si corrispondono projettivamente. 
66. Siano ora dati nove punti abcdefghi e si voglia costruire la curva di 
terz’ ordine da essi determinata, mediante due fasci projettivi, l’uno di co- 
niche , 1’ altro di rette. Per formare le basi de’ due fasci sono necessari cin- 
que punti: ma uno fra essi (57) non può essere assunto ad arbitrio fra i 
punti dati, bensì solamente gli altri quattro. 
Secondo che il punto incognito si attribuisce al fascio di rette o al fa- 
scio di coniche si hanno due diversi modi di costruire la curva di terz' ordi- 
ne, i quali corrispondono ai due teoremi (65, l.°, 2.°). Noi qui ci limitiamo 
al solo primo modo di costruzione, che è dovuto al sig. Chasles (*). 
Imaginiamo le cinque coniche circoscritte al quadrangolo abcd e passanti 
rispettivamente per e,f,g,h 9 i. Il sistema di queste cinque coniche si può 
rappresentare col simbolo : 
(oòcd)(e, f, g, h, i ). 
Si tratta dunque di trovare un punto o tale che il sistema di cinque rette 
o(e , f, g , h 9 t) 
sia projettivo al sistema delle cinque coniche. Siccome quest’ ultimo sistema è 
proiettivo a quello delle tangenti alle coniche nel punto a ( 46 ) , così 1’ at- 
tuale problema coincide con uno già risoluto (62,64). Determinalo il pun- 
to o opposto ai quattro abcd , sono determinali i fasci generatori; e con ciò 
la quistione è risoluta. 
67. Suppongami ora due cubiche individuate da due sistemi di nove punti, 
fra i quali ve ne siano quattro abcd comuni alle due curve. Queste si seghe- 
(*) Constmction de la courbe du 3. ordre déterminée par neuf points ( Comptes rendus , 30 
Jonqcieres , Essai sur la génération de s covrbes géométriques etc. — Hìrtenbkrgeb , Ueber die 
Erzeugvng geometrischer Curven (Giornale Crelle-Borchardt, t. 58, Berlino 1860, P- 54). 
