Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
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ranno in altri cinque punti che individuano una conica. Questa conica può 
essere costruita senza conoscere quei cinque punti, cioè senza descrivere le 
due cubiche. 
Si consideri il fascio delle coniche circoscritte al quadrangolo abcd jk.una 
qualunque di esse sega la prima cubica in due punti mn e la seconda cubica 
in due altri punti vriri. Le rette mn, tri ri incontrano nuovamente le cubiche 
in due punti fissi o, cl che sono gli opposti ai dati abcd, rispetto alle due 
cubiche medesime. Variando la conica, le rette omn, o'rri ri generano due 
stelle proiettive al fascio dì coniche, epperò proiettive fra loro. I raggi cor- 
rispondenti di queste stelle si segano in punti il cui luogo è una conica pas- 
sante per o , o' ed anche pei cinque punti incogniti comuni alle due cubiche. 
Essa è dunque la conica domandata. 
(a) Di questa conica si conoscono già due punti o , o ; altri tre si pos- 
sono dedurre dalle tre coppie di lati opposti del quadrangolo abcd , considerate 
come coniche speciali del fascio. Infatti: siano m, n i punti in cui la prima 
cubica è incontrata nuovamente dalle rette bc, ad ; ed rri , ri quelli in cui 
queste medesime rette segano la seconda cubica. Le rette mn, tri ri sono due 
raggi corrispondenti delle due stelle projettive, i cui centri sono o, o' ; dun- 
que il loro punto comune appartiene alla conica richiesta. Analogamente dicasi 
delle altre due coppie di lati opposti (ca, bd) , (ab, cd). 
Di qui segue che, de 9 nove punti comuni a due cubiche, cinque qualun- 
que individuano una conica la quale passa pel punto opposto agli altri quattro, 
rispetto a ciascuna delle cubiche (*). 
(b) Siano abcd, àb'c'd' otto punti comuni a due cubiche; o, 6 i punti 
opposti ai due sistemi abcd , àb'c'd l' , rispetto alla prima cubica. La retta oo' 
sega questa cubica in un terzo punto x. Dalla definizione del punto opposto 
segue che le coniche individuate dai due sistemi abcdd , àb'c'd'o passano en- 
trambe per x. Dunque x è il nono punto comune alle due cubiche (**). 
(c) Se abcd sono quattro punti di una cubica, il loro punto opposto o 
può essere determinato così. Siano m, n i punti in cui la curva è incontrata 
dalle rette ab, cd; la retta mn segherà la curva medesima in o. Se i punti 
abcd coincidono in un solo a , anche m , n coincidono nel punto m in cui 
la cubica è segata dalla tangente in a ; ed o diviene V intersezione della curva 
colla tangente in m. Dunque, se (39, b) m si chiama il tangenziale di a ed 
o il tangenziale di m ossia il secondo tangenziàle di a, si avrà: 
Se una conica ha un contatto quadripunto con una cu- 
bica, la retta che unisce gli altri due punti di segamento 
passa pel secondo tangenziale del punto di contatto. 
Da ciò segue immediatamente che: 
qut 
sta sulla 
ile (***). 
pur 
(*) PlOcker , Theorie der algeb. Curven , p, 56. 
(**) Hart , Construction by thè ruler alone to determine thè ninth point of interteclion of 
ttco curves of thè third degree (Cambridge and Dublin Mathematica! Journal, voi. 6, Cambridge 1851, 
(***) Pokcblkt , Analyse des transversalet , p. 135. 
