Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
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Ma v’ha di più. Se la trasversale è tangente a C n in o, in questo sono 
riuniti due punti a , quindi anche (17) due centri armonici di grado qualun 
polari di questo punto. 
Dallo stesso teorema (17) segue ancora che la prima polare di un punto 
o della curva fondamentale è il luogo de' centri armonici di grado n — 2 , re- 
lativi al polo o , del sistema di » — 1 punti in cui C n è incontrata da una 
trasversale variabile condotta per o. Gli n (n— 1 ) — 2 punti in cui la prima 
polare di o sega C n (oltre ad o, ove queste curve si toccano) sono i punti 
di contatto delle rette che da o si possono condurre a toccare altrove la curva 
data. 
72. Supponiamo che la curva C n abbia un punto d multiplo secondo il 
numero r. Ogni retta condotta per d sega ivi la curva in r punti coinciden- 
ti, epperò (17 ) d sarà un punto (r) pl ° per ciascuna polare del punto stesso. 
Ciascuna delle tangenti agli r rami di C n incontra questa curva in r -+- 1 
punti coincidenti in d (31); onde considerando la tangente come una trasver- 
sale (68), in d coincidono r - hi punti a, epperò anche r + 1 centri armo- 
nici di qualunque grado, rispetto al polo d (17). Dunque le r tangenti di C n 
nel suo punto multiplo d toccano ivi anche gli r rami di qualunque curva 
polare di d. 
Ne segue che le polari ( n — 1 ) ma , ( n — 2 ) ma , . . . ( n — r -t- 1 ) ma del 
punto d sono indeterminate, e la polare (n — r) ma del punto stesso è il sistema 
delle r tangenti dianzi considerate (31). 
Quest’ ultima proprietà si rende evidente anche osservando che, riguar- 
dala la tangente in d ad un ramo di C n come una trasversale condotta pel polo 
d (68), vi sono r -+- 1 punti a coincidenti insieme col polo, onde qualunque 
punto della trasversale potrà essere assunto come centro armonico di grado 
r (17). Cioè il fascio delle tangenti agli r rami di C n costituisce il luogo dei 
centri armonici di grado r, rispetto al polo d. 
73. Sia o un polo dato ad arbitrio nel piano della curva C M , dotata di 
un punto d multiplo secondo r. Condotta la trasversale od 3 r punti a coinci- 
deranno in d ; quindi (16) questo medesimo punto terrà luogo di r — s centri 
armonici del grado n — s ( s < r ) ; ossia : 
Un punto (r) pt0 della curva fondamentale è multiplo se- 
condo r — s per la polare (s) mo di qualsivoglia polo. 
(a) Applichiamo le cose premesse al caso che C n sia il sistema di » 
rette concorrenti in uno stesso punto d. Questo, essendo un punto ( n) pl ° pel 
luogo fondamentale, sarà multiplo secondo n — 1 per la prima polare di un 
punto qualunque o ; la quale sarà per conseguenza composta di n — 1 rette 
incrociantisi in d. 
Condotta pel polo o una trasversale qualuuque che seghi le n rette date 
in 0^9 . . . a n , se m t m 2 . . . sono i centri armonici di grado n — 1 , le 
rette d ( m, , m 2 , . . . m n _ y ) costituiranno la prima polare di o ( 20 ). Questa 
prima polare non cambia (18), quando il polo o varii mantenendosi sopra una 
retta passante per d . 
Se fra le n rette date ve ne sono s coincidenti in una sola donnei punto 
a saranno riuniti (16) s — 1 centri armonici di grado n — 1 , epperò $ — 1 
rette dm coincideranno in da, qualunque sia o. 
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