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Luigi Cremona 
(b) Come caso particolare, per n = 2 si ha: 
Se la linea fondamentale è un pajo di rette d ( a { , a. 2 ) , la polare di 
un punto o è la retta coniugata armonica di do rispetto alle due date (*). E 
se queste coincidono , con esse si confonde anche la polare , qualunque sia il 
polo. 
74. Ritorniamo ad una curva qualunque C n dotata di un punto ( r) pl ° d. 
Assunto un polo arbitrario o, la prima polare di questo passerà r — 1 volte 
per d (73); e le r rette tangenti a C n in d costituiranno 1’ (n — r) wa pola- 
re del medesimo punto d ( 72 ). Analogamente le r — 1 tangenti in d alla 
prima polare di o formano P ^ ( n — 1) — (r — 1 ) ^ polare di d rispetto 
alla prima polare di o, ossia, ciò che è lo stesso (69, c), la prima polare 
di o rispetto all’ (n — r) ma polare di d. Dunque (73, a): 
Se la curva fondamentale ha un punto (r)^° d, le tan- 
genti in d alla prima polare di un polo qualunque o sono 
le r — 1 rette, il cui sistema è la prima polare di o ri- 
spetto al fascio delle r tangenti alla curva fondamentale 
in d. 
(a) Di qui s’inferisce, in virtù del teorema (73, a), che le prime po- 
lari di tutt’ i punti di una retta passante per d hanno in questo punto le stesse 
rette tangenti. 
(b) Inoltre, se s tangenti di C n nel punto multiplo d coincidono in una 
sola retta , in questa si riuniranno anche s — 1 tangenti della prima polare di 
o ( 73 , a) ; onde , in tal caso , d rappresenta r ( r — 1 ) ■+• s — 1 intersezioni di 
C n colla medesima prima polare (32). Il numero delle intersezioni rimanenti 
è n(n — 1)— r(r— 1) — (s— 1); perciò questo numero esprime quante tan- 
genti (70) si possono condurre dal punto o alla curva fondamentale ( supposto 
però che questa non abbia altri punti multipli). In altre parole: 
Se la curva fondamentale ha un punto multiplo secon- 
do r, con s tangenti sovrapposte, la classe della curva è 
diminuita di r(r-l) + j-l unità. 
(c) Queste proprietà generali, nel caso r = 2, s=l e nel caso r = 2, 
s = 2, danno (73, b): 
Se la curva fondamentale ha un punto doppio d , la prima polare di un 
polo qualunque o passa per d ed ivi è toccata dalla retta coniugala armonica 
di do rispetto alle due tangenti della curva fondamentale. 
Se la curva fondamentale ha una cuspide d , la prima polare di un polo 
qualunque passa per d ed ivi ha per tangente la stessa retta che tocca la 
curva data. 
Per conseguenza , la prima polare di o sega C n in altri n ( n — t ) — 2 
o n ( n — t ) — 3 punti ( oltre d ) , secondo che d è un punto doppio or- 
dinario o una cuspide. Cioè la classe di una curva s’ abbassa di due unità 
per ogni punto doppio e di tre per ogni cuspide (**). 
