Luigi Cremona 
i4jj4 2 . . . /4 r _{.4r-H • • • A n considerato come luogo d* ordine n — 1 ; e sia a r 
il punto in cui P r incontra A r . In virtù del teorema (15), a r è anche il 
centro armonico di primo grado , rispetto al polo o , del sistema di n punti 
in cui le n rette date sono tagliate dalla trasversale oa r ; dunque : 
Date n rette ed un polo o , il punto, in cui una qua- 
lunque delle rette date incontra la retta potare di o ri- 
spetto alle altre n— 1 rette, giace nella retta polare di 
o rispetto alle n rette (*). 
Da questo teorema , per n = 3 , si ricava : 
Le rette polari di un punto dato rispetto agli angoli di un trilatero 
incontrano i lati rispettivamente opposti in tre punti situati in una stessa ret- 
ta^ che è la polare del punto dato rispetto al trilatero risguardato come luo- 
go di terz’ ordine. 
E reciprocamente: se i lati òc, ca, ab di un trilatero abc sono incon- 
trati da una trasversale in a!, b\ c', e se a,, b { , c t sono ordinatamente i con- 
iugati armonici di a', 6', c' rispetto alle coppie bc, ca, ab, le rette aa { , bb { , cc x 
concorrono in uno stesso punto ( il polo della trasversale ). 
77. Le prime polari di due punti qualunque o,o' (rispetto alla data 
curva C n ) si segano in (n — 1 ) 2 punti, ciascun de’ quali , giacendo in en- 
trambe le prime polari, avrà la sua retta polare passante sì per o che per o' 
(69, a). Dunque : 
Una retta qualunque è polare di ( n — 1 ) 2 punti diver- 
si, i quali sono le intersezioni delle prime polari di due 
punti arbitrari della medesima. Ossia : 
Le prime polari di tutt’ i punti di una retta formano 
un fascio di curve passanti per gli stessi (n — 1 ) 2 punti (**). 
(a) In virtù di tale proprietà, tutte le prime polari passanti per un 
punto o hanno in comune altri (n— 1 ) 2 — 1 punti, cioè formano un fascio, 
la base del quale consta degli ( n — 1 ) 2 poli della retta polare di o. Per 
due punti o , o' passa una sola prima polare ed è quella il cui polo è P in- 
tersezione delle rette polari di o ed 6 . 
Dunque tre prime polari bastano per individuare tutte le altre. Infatti: 
date tre prime polari C', C", C' ", i cui poli non siano in linea retta, si do- 
manda quella che passa per due punti dati o, o. Le curve C'^C" determi- 
nano un fascio, ed un altro fascio è determinato dalle C ' , C'". Le curve che 
appartengono rispettivamente a questi due fasci e passano entrambe per o in- 
dividuano un terzo fascio. Quella curva del terzo fascio che passa per 6 è 
evidentemente la richiesta. 
(b) Se tre prime polari, i cui poli non siano in linea retta, passano 
per uno stesso punto , questo sarà comune a tutte le altre prime polari e sarà 
doppio per la curva fondamentale (73); infatti la sua retta polare, potendo 
passare per qualunque punto del piano (69, a), riesce indeterminata (72). 
