Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
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78. Suppongasi che la polare ( r) ma di un punto o abbia un ponto dop- 
pio o, onde la prima polare di un punto arbitrario m rispetto alla polare 
(r) mo di o (considerata questa come curva fondamentale) passerà per o (73). 
A cagione del teorema (69, d) , la prima polare di m rispetto alla (n— -r — l) ma 
polare di o' passerà per o. Inoltre , siccome 1’ ( r -+- 1 ) ma polare di o passa 
per o', così il punto o giace nell 5 (n — r — 1 ) ma polare di o (69, a). 
Dunque ( 77 , b) : 
Se la polare ( r) ma di o ha un punto doppio o', vicever- 
sa 1’ (n — r—-l) ma polare di o' ha un punto doppio in o (*). 
Per esempio : se la prima polare di o ha uu punto doppio o', la conica 
polare di o' sarà il sistema di due rette segantisi in o; e viceversa. 
(a) Se la data curva C n ha una cuspide d , la conica polare di questo 
punto si risolve in due rette coincidenti nella retta che tocca C n in d ( 72 ). 
Ciascun punto m di questa retta può risguardarsi come un punto doppio della 
conica polare di d; dunque d sarà un punto doppio della prima polare di 
Se la curva fondamentale ha una cuspide, la prima 
polare di un punto qualunque della tangente cuspidale 
passa due volte per la cuspide. 
Queste prime polari aventi un punto doppio in d formano un fascio ( 77, a ); 
epperò fra esse ve ne sono due, per le quali d è una cuspide (48). Una 
delle due prime polari cuspidate è quella che ha per polo lo stesso pun- 
to d (72). 
(b) L’(s) ma polare di un punto m rispetto alP (r) wa polare di un al- 
tro punto o abbia un punto doppio o' ; vale a dire (69, c), P (r)* 10 polare 
di o rispetto all’ (s) TOO polare di m passi due volte per o. Applicando al- 
P ($) ma polare di m il teorema dimostrato per la curva C n (78), troviamo 
che P ^(n — s) — r— 1^ polare di o' rispetto all’ (s)” 10 polare di m ha 
un punto doppio in o. Dunque: 
Se 1’ (s) roo polare di m rispetto all’ (r) m “ polare di o 
ha un punto doppio o , viceversa 1’ (s) ma polare di m ri- 
spetto all’ ( n — r — s — 1 ) ma polare di ó avrà un punto dop- 
pio in o. 
79. L’(r) wa polare di o abbia una cuspide o'; P (n — r — \) ma polare 
di o' passerà due volte per o (78). Se poi si designa con m un punto qua- 
lunque della retta che tocca nella cuspide o P ( r ) ma polare di o , la prima 
polare di m rispetto alla stessa (r) mo polare di o avrà un punto doppio in 
o (78, a); epperò (78,b) la prima polare di m rispetto all’ ( n — r — 2) wn 
polare di 6 avrà un punto doppio in o. 
Da questa proprietà , fatto r = 1 , discende : 
punto della tangente cuspidale ha per conica polare, re- 
der algebraischen Curven ( Giornale di Orbile , t. 47, 
