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Luigi Cremona 
lati va mente alla cubica polare di o', un pajo di rette in- 
È evidente che ciascuna di queste rette determina l’altra, vale a dire, 
tutte le analoghe paja di rette costituiscono un’ involuzione ( di secondo gra- 
do ) ; onde nella tangente cuspidale vi saranno due punti , ciascun de’ quali 
avrà per conica polare ( rispetto alla cubica polare di o' ) un pajo di rette 
riunite in una sola retta passante per o. 
II punto o è doppio per la conica polare ( relativa alla cubica polare 
di 6) di ciascun punto m della tangente cuspidale; viceversa adunque (78) 
m è un punto doppio della conica polare di o ( relativa alla cubica polare 
di o ). Ossia: la retta che tocca la prima polare di o nella cuspide o', con- 
siderata come il sistema di due rette coincidenti, è la conica polare di o 
rispetto alla cubica polare di o'. 
Le rette doppie dell’ involuzione suaccennata incontrino la tangente cuspi- 
dale in o { , o 2 . Siccome è un punto doppio sì per la conica polare (sem- 
pre rispetto alla cubica polare di 6 ) di o , che per la conica polare rappre- 
sentata dalla retta oo l9 così (78) la conica polare di o t avrà un punto dop- 
pio in o ed un altro sopra o t o 2 , vale a dire, sarà il sistema di due rette 
coincidenti. Dunque le rette oo 2 , oo { costituiscono separatamente le coniche 
polari de’ punti o { , o 2 ; ossia : 
Se la prima polare di o ha una cuspide o', nella tan- 
gente cuspidale esistono due punti o ì , o 2 , i quali insie- 
me con o formane* un triangolo, tale che ciascun lato 
considerato come due rette coincidenti è la conica pola- 
del pun lo o'. 
80. Consideriamo ora una tangente stazionaria della data curva C n ed il 
relativo punto di contatto o flesso i. Preso un polo o nella tangente staziona- 
ria e considerala questa come trasversale ( 68 ) , tre punti a sono riuniti nel 
flesso (29 ) , epperò questo tien luogo di due centri armonici del grado n— 1 
e di un centro armonico del grado n — 2 (16). Vale a dire, la prima pola- 
re di o passa per i ed ivi tocca C n \ e per i passa anche la seconda po- 
lare di o. 
Come adunque per t passa la seconda polare d* ogni punto o della tan- 
gente stazionaria, così (69, a) la conica polare di t conterrà tutt’ i punti 
della tangente medesima. Dunque la conica polare di un flesso si 
decompone in due rette, una delle quali è la rispettiva 
& Se t è il punto comune alle due rette che formano la conica polare del 
flesso i, la prima polare di i' avrà (78) un punto doppio in i. Ossia: un 
flesso della curva data è un punto doppio di una prima polare, il cui polo 
giace nella tangente stazionaria. 
Se un punto p appartiene a C n ed ha per conica polare il sistema di 
due rette, esso sarà o un punto doppio o un flesso della curva data. Infatti: 
o le due rette passano entrambe per p, e la retta polare di questo punto rie- 
sce indeterminata, cioè p è un punto doppio della curva. Ovvero, una sola 
delle due rette passa per p, ed è la tangente alla curva in questo punto (71); 
tute i punti di questa retta appartengono alle polari (n— \) ma ed (n — 2} mu 
