Introduz. ad una teoria geometrica ec. 367 
di p , dunque la prima e la seconda polare di ciascun di que’ punti passa per 
p, il che non può essere, se quella retta non ha in p un contatto tripunto 
colla curva data (16). 
81. Siccome ad ogni punto preso nel piano della curva fondamentale C n 
corrisponde una retta polare, così domandiamo: se il polo percorre una data 
curva C m d'ordine m, di qual classe è la curva inviluppata dalla retta pola- 
re? ossia, quante rette polari passano per un arbitrario punto o, ciascuna 
avente un polo in C m ? Se la retta polare passa per o, il polo è (69, a) 
nella prima polare di o, la quale sega C m in m(n— 1) punti. Questi sono i 
soli punti di C u » , le rette polari de’ quali passino per o; dunque: se il polo 
luppa una curva della classe m(n-’t). ? 
( a ) Per m= 1 si ha : se il polo percorre una retta lì , la retta polare 
inviluppa una curva della classe n— 1. 
(b) Se la curva fondamentale ha un punto (r) p,0 d } la prima polare di o 
passa r — 1 volte per d (73) ; quindi, se anche R passa per quest’ultimo 
punto , la prima polare di o segherà R in altri ( n — 1 ) — ( r — 1 ) punti ; cioè 
la classe dell’ inviluppo richiesto sarà n — r. 
(c) Se inoltre s rami di C n hanno in d la tangente comune , questa tocca 
ivi i — 1 rami della prima polare di o (74); onde, se R è questa tangen- 
te, le rimanenti sue intersezioni colla prima polare di o saranno in numero 
(n — I) — (r — 1) — (s — t); dunque la classe dell’ inviluppo è in questo caso 
„ — 
82. Come la teoria de’ centri armonici di un sistema di punti in linea 
retta serve di base alla teoria delle curve polari relative ad una curva fonda- 
mentale di dato ordine, così le proprietà degli assi armonici di un fascio di 
rette divergenti da un punto (19, 20) conducono a stabilire un’analoga teoria 
di inviluppi polari relativi ad una curva fondamentale di data classe. 
Data una curva K della classe m ed una retta R nello stesso piano , da 
un punto qualunque p di R siano condotte le m tangenti a K ; gli assi ar- 
monici, di grado r, del sistema di queste m tangenti rispetto alla retta fissa 
R inviluppano , quando p muovasi in R , una linea della classe r. Così la 
retta R dà luogo ad m — 1 inviluppi polari, le cui classi cominciano 
con m — 1 e finiscono con 1. L’inviluppo polare di classe più alta tocca le 
rette tangenti a K ne’ punti comuni a questa linea e ad R ; onde segue che R 
incontra K in m(m— 1) punti, cioè una curva della classe m è ge- 
neralmente dell’ ordine m(m — 1). Ma questo è diminuito di due 
unità per ogni tangente doppia e di tre unità per ogni tangente stazionaria di 
cui sia dotata la curva fondamentale; ec c. ecc. 
Art. XIV. Teoremi relativi ai siatemi <li curve. 
83. Due serie di curve (34) si diranno projettive, quando, in 
virtù di una qualsiasi legge data , a ciascuna curva della prima serie corrisponda 
una sola curva della seconda e reciprocamente. 
Una serie d’ indice M e d’ ordine m sia proiettiva ad una serie d* indice 
N e d’ ordine n ; di quale ordine è la linea luogo delle intersezioni di due 
curve corrispondenti? Ossia, in una retta trasversale arbitraria quanti punti 
