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Luigi Cremona 
esistono, per ciascun de 9 quali passino due curve corrispondenti ? Sia a un punto 
qualunque della trasversale , pel quale passano M curve della prima serie ; le 
M corrispondenti curve della seconda serie incontreranno la trasversale in Mn 
punti a'. Se invece si assume ad arbitrio un punto a! nella trasversale e si 
considerano le N curve della seconda serie che passano per esso, le N corri- 
spondenti curve della prima serie segano la trasversale in Nm punti a. Dunque 
a ciascun punto a corrispondono Mn pnnti a' ed a ciascun punto a' corrispon- 
dono Nm punti a. Cioè, se i punti a, a' si riferiscono ad una stessa origine 
o (fissata ad arbitrio nella trasversale), fra i segmenti oa , oa' avrà luogo 
un 9 equazione di grado Mn rispetto ad oa' e di grado Nm rispetto ad oa. Onde, 
se à coincide con a, si avrà un’equazione del grado Mn -h Nm in oa, vale 
a dire , la trasversale contiene Mn -+■ Nm punti del luogo richiesto. Abbiamo 
così il teorema generale (*) : 
Date due serie proiettive di curve, 1’ una d 9 indice M 
e d ' ordine m , 1 * altra d’indice N e d’ ordine n, il luogo 
de’ punti comuni a due curve corrispondenti è una linea 
dell’ordine Mn -h Nm. 
( a ) Per M — N = 1 , questo teorema dà 1’ ordine della curva luogo delle 
intersezioni delle linee corrispondenti in due fasci proiettivi (50). E nel caso 
di m — n — \ si ha : 
Se le tangenti di una curva della classe M corrispon- 
dono p r o j e 1 1 i v a m e n t e , ciascuna a ciascuna, alle tangenti 
di un’ altra curva della classe JV, il luogo del punto co- 
mune a due tangenti omologhe è una linea dell’ordine M-^N. 
(b) Analogamente si dimostra quest’ altro teorema, che può anche con- 
chiudersi da quello ora enunciato, in virtù del principio di dualità: 
Se a ciascun punto di una data curva d’ordine M cor- 
risponde, in forza di una certa legge, un solo punto di 
un’altra curva data dell’ ordine N, e reciprocamente, se ad 
ogni punto di questa corrisponde un so! punto di quella, 
la retta che unisce due punti omologhi inviluppa una curva 
della classe M -+- N. 
84. Data una serie d* indice N e d’ordine n, cerchiamo di quale indice 
sia la serie delle polari (r)” 1 * d* un dato punto o rispetto alle curve della se- 
rie proposta. Quante polari siffatte passano per un punto qualunque , ex. gr. per 
lo stesso punto dato o? Le sole polari passanti pel polo o sono quelle relative 
alle curve della data serie, che s’incrociano in o, e queste sono in numero 
N. Dunque: 
Le polari (r)^ di un dato punto, rispetto alle curve 
d’ ordine n d’una serie d’ indice iV, formano una serie 
d’indice N e d’ordine n — r. La nuova serie è projettiva 
alla prima. 
(a) Per iV= 1 si ha: le polari ( r) me di un dato punto rispetto alle curve 
di un fascio formano un nuovo fascio projettivo al primo (**). 
(*) Jonquières, Théorèmes généraux etc. p. 117. 
(**) Bobillier, Recherches sur les lois qui règi 
t. 18, Nismes 1827-28, p. 256). 
c. ( Annales de Gerbone, 
