Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
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( b ) Se r = n — • 1 , si ottiene il teorema : 
Le rette polari d’un punto dato rispetto alle curve 
se N. 3 SeriC n v i ppa 
(c) Ed in particolare, se iV = 1: le rette polari d’un punto dato rispetto 
alle curve d’ un fascio concorrono in uno stesso punto e formano una stella 
proiettiva al fascio dato. 
85. Data una serie d’ indice Ne d’ ordine n, ed un punto o, si consi- 
deri 1’ altra serie formata dalle prime polari di o relative alle curve della serie 
data ( 84 ). I punti in cui una delle curve d’ ordine n è segata dalla relativa 
prima polare sono anche (70) i punti ove la prima curva è toccata da rette 
uscenti da o. Siccome poi le due serie sono proiettive , così applicando ad esse 
il teorema generale di Jonquières (83), avremo: 
curve d’ ordine n d’ una serie d’ indice IV, i punti di con- 
tatto giacciono in una linea dell’ordine N (2n — 1 ). 
Essendo il punto o situato in N curve della data serie, la curva luogo 
de’ contatti passerà N volte pel punto medesimo ed ivi avrà per tangenti le 
rette che toccano le N curve preaccennate. Ogni retta condotta per o incon- 
trerà quel luogo in altri 2N(n— 1) punti, dunque: 
Fra le curve d’ordine n d’una serie d’indice N ve 
ne sono 2JV(n— 1) che to c c a n o u n a r e tt a qu alsivoglia d a t a. 
Se 2V= 1, si ricade nel teorema (49). 
86. Data una serie d’indice Ne d’ ordine n, di quale ordine è il luogo 
di un punto, pel quale una retta data sia la polare rispetto ad alcuna delle 
curve della serie? Cerchiamo quanti siano in una retta qualunque, ex gr. nella 
stessa retta data, i punti dotati di quella proprietà. I soli punti giacenti nella 
propria retta polare sono quelli ove la retta medesima tocca curve della data 
serie. Onde, pel teorema precedente, avremo: 
Il luogo dei poli di una retta data, rispetto alle curve 
d’ ordine n d’ una serie d’ indice N, è una linea dell’ or- 
dine 2JV(n — 1 ). 
Quando è N = 1 , in causa del teorema ( 84 , c ) , un punto a apparterrà 
al luogo di cui si tratta , se le sue rette polari relative alle curve date concor- 
rano in un punto b della retta data. Ma, in tal caso, le prime polari di b 
passano per a (69, a); dunque (*): 
Dato un fascio d’ ordine n , le prime polari d’ uno stesso punto rispetto 
alle curve del fascio formano un nuovo fascio. Se il polo percorre una retta 
fissa , i punti-base del secondo fascio generano una linea dell’ ordine 2 ( n — ■ 1 ), 
che è anche il luogo dei poli della retta data rispetto alle curve del fascio 
proposto. 
87. Quale è il luogo di un punto che abbia la stessa retta polare rispetto 
ad una data curva C n d’ ordine n e ad alcuna delle curve C m d’ una data se- 
rie d’indice M? Per risolvere il problema, cerchiamo quanti punti del luogo 
