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Luigi Cremona 
richiesto siano contenuti in una trasversale assunta ad arbitrio. Sia a un punto 
qualunque della trasversale; A la retta polare di a rispetto a C n . Il luogo dei 
poli della retta A rispetto alle curve C m è ( 86 ) una linea deli ordine 2Jf (m — I ) , 
che segherà la trasversale in 2 M(m — 1) punti a!. Reciprocamente: assunto 
ad arbitrio un punto a' nella trasversale, le rette polari di a' rispetto alle curve 
C m formano (84, b) una curva della classe il/, la quale ha M ( n — 1 ) tan- 
genti comuni colla curva di classe n — 1 inviluppo delle rette polari de’ punti 
della trasversale relative a C n (81, a). Queste M (n — 1) tangenti comuni 
sono polari, rispetto a Cn, d' altrettanti punti a della trasversale. Così ad ogni 
punto a corrispondono 2.4/ (m — 1 ) punti a r ed a ciascun punto a' corrispondono 
M(n — 1 ) punti a ; dunque ( 83 ) vi saranno 2Jtf (m — 1 ) -f- M { n— 1 ) punti a, 
ciascuno de' quali coinciderà con uno de* corrispondenti a. Per conseguenza : 
rispetto ad una data curva d 5 ordine n e ad alcuna delle 
curve d’una seried’ indice ili e d’ordine m , è una linea 
dell’ ordine M(n -h 2m - 3). 
(a) Se la data curva C n ha un punto doppio d (ordinario o stazionario), 
la retta polare di questo punto rispetto a C n è indeterminata (72), onde può 
assumersi come tale la tangente a ciascuna delle M curve C m passanti per d. 
Dunque la curva d’ ordine ill(n-t-2m — 3) 7 che indicheremo con K, passa 
M volte per ciascuno de* punti doppi ordinari o stazionari della curva C n - 
(b) Sia d un punto stazionario di C n e si applichi alla tangente cuspidale 
T il ragionamento dianzi fatto per un’ arbitraria trasversale. Se si riflette che , 
nel caso attuale , l’ inviluppo delle rette polari de’ punti di T rispetto a C n è 
della classe n — ■ 3 (81 , e), talché ad ogni punto a' corrisponderanno jj/(n — 3 ) 
punti a, si vedrà che la retta T , prescindendo dal punto d, incontra la curva 
K in j)/(n-f-2m — 5) punti, ossia il punto d equivale a 2M intersezioni di 
K e T. Per conseguenza (32) in d sono riuniti 3ilf punti comuni alle linee K e C n • 
(c) Di qui s’ inferisce che, se la data curva C n ha £ punti doppi e k cuspidi, 
essa sarà incontrata dalla linea K in altri M\n( n-h 2m — 3 ) — 25 — 3* \ 
punti. Ma questi , in virtù della definizione della linea K , sono i punti ove Cn 
é toccata da curve della data serie ; dunque : 
In una serie d’ indice M e d’ ordine m vi sono 
Jf|»(n-t-2m — 3) — 2* — 3#| curve che toccano una data linea 
d’ ordine n, dotata di d punti doppi e x cuspidi (*). 
( d ) Per M — m — 1 si ha : 
ero delle rette tang 
cuspidi, è »(«-!)- 
che da un dato punto si 
>rdine n, avente 8 punti 
-3x: risultato già ottenuto al- 
88. In un fascio d’ ordine m quante sono le curve dotate di un punto 
doppio? Assunti ad arbitrio tre punti o, o ' , o " (non situati in linea retta), le 
loro prime polari relative alle curve del dato fascio formano ( 84 , a ) tre altri 
Tangenten algebraischer Curven ( Giornale Cbblle-Bor- 
Jonqdièbes, Th'éorèmes généranx eie. p. 120. 
