Introduz. ad una teoria geometrica ec. 371 
fasci projellivi d’ ordine m — 1 , ne' quali si considerino come curve corrispon- 
denti le polari di o, o , o" rispetto ad una stessa curva del fascio proposto. 
Se una delle curve date ha un punto doppio, in esso s’ intersecano le tre cor- 
rispondenti prime polari di o, o', o" (73). Dunque i punti doppi delle curve 
del dato fascio sono que’ punti del piano , pei quali passano tre curve corri- 
spondenti de’ tre fasci projettivi di prime polari. 
Ora , il primo ed il secondo fascio , colle mutue intersezioni delle linee 
corrispondenti, generano (50) una curva d’ordine 2 (m — 1); ed un’altra 
curva dello stesso ordine è generata dal primo e terzo fascio. Queste due curve 
passano entrambe per gli (m — I ) 2 punti-base del primo fascio di polari; ep- 
però esse si segheranno in altri 3(m— • 1 ) 2 punti, i quali sono evidentemente 
i richiesti. Cioè: 
Le curve d’ ordine m di un fascio hanno 3 ( m - 1 ) 2 
punti doppi. 
(a) Le curve date si tocchino fra loro in un punto o, talché una di esse, 
C„t j abbia ivi un punto doppio (47). Il punto o' sia preso nella tangente co- 
mune alle curve date, ed o" sia affatto arbitrario. Le prime polari di o re- 
lative alle curve del fascio proposto passano tutte per o, ivi toccando oo' (71); 
ed una di esse, quella che si riferisce a C, n , ha in o un punto doppio (72). 
Anche le polari di 6 passano tutte per o (70); ma fra le polari di o" una 
sola passa per o , quella cioè che corrisponde a C m (73). 
Le polari di o e quelle di o' generano una curva dell’ ordine 2(m— 1), 
per la quale o è un punto doppio ed od una delle relative tangenti (52, a). 
E le polari di o con quelle di o" generano un’ altra curva dello stesso ordi- 
ne, anch’ essa passante due volte per o (51, b). Dunque il punto o, doppio 
per entrambe le curve d’ ordine 2 ( m — 1 ) , equivale a quattro intersezioni. 
In o le polari di questo punto si toccano, epperò gli altri punti-base del fa- 
scio da esse formato sono in numero ( m — 1 ) 2 — 2. Oltre a questi punti e 
ad o, le due curve d’ ordine 2 (m — 1 ) avrauno 4 (m— l) 2 — 4— | (m — l) 2 — 2( 
= 3(»i — l) 2 — 2 intersezioni comuni. 
Dunque il punto o, ove si toccano le curve del dato fascio, conta per 
due fra i punti doppi del fascio medesimo. 
(b) Suppongasi ora che nel dato fascio si trovi una curva C m dotala di 
una cuspide o. Sia o' un punto preso nella tangente cuspidale, ed o" un altro 
punto qualsivoglia. Le prime polari di o rispetto alle curve date formano un 
fascio, nel quale v’ha una curva ( la polare relativa a C m ) avente una cuspi- 
de in o colla tangente oo' (72). Alla quale curva corrispondono, nel fascio 
delle polari di o', una curva passante due volte per o (78, a), e nel fascio 
delle polari di o ", una curva passante per o ed ivi toccante oo' ( 74 , c ). Perciò 
il primo ed il secondo fascio generano una curva d’ ordine 2 ( m — 1 ) , per 
la quale o è un punto doppio (51,f); mentre il primo ed il terzo fascio 
danno nascimento ad una curva di quello stesso ordine, passante semplicemen- 
te per o ed ivi toccante la retta oo' (51,g). Queste due curve hanno adun- 
que due punti comuni riuniti in o; talché, astraendo dagli (m — 1 ) 2 punti- 
base del primo fascio, le rimanenti intersezioni saranno 3(m — 1 ) 2 — 2. 
Ossia : se in un fascio v’ ha una curva dotata di una cuspide , questa 
conta per due fra i punti doppi del fascio. 
( c ) Da ultimo supponiamo che tutte le curve del fascio proposto passino 
