372 
Luigi Cremona 
per o, cuspide di C m . Sia ancora o un punto della tangente cuspidale di 
C m 9 e si prenda o" nella retta che tocca in o tutte le altre curve del fascio. 
Le polari di o passano per questo punto, toccando ivi oo" ed una fra esse, 
quella relativa a C m , ha una cuspide in o colla tangente oo' (71 , 72) Le 
polari di o" passano anch’ esse per o (70); ma una sola, quella che si riferi- 
sce a C m , tocca ivi oo' (74, c). E fra le polari di o' , soltanto quella che è 
relativa a C m passa per o,ed invero vi passa due volte (78, a). Donde segue 
che le polari di o ed o" generano una curva d’ordine 2(m — 1), per la 
quale o è un punto doppio colle tangenti oo r , oo" (52, a); e le polari di o 
ed o' generano un’ altra curva dello stesso ordine, cuspidata in o colla tan- 
gente oo' (51, c). Pertanto le due curve così ottenute hanno in o un punto 
doppio ed una tangente ( oo ) comune , ossia hanno in o cinque intersezioni 
riunite (32). Messi da parte il punto o, nel quale tutte le polari del primo 
fascio si toccano, e gli altri (m— l) 2 — 2 punti-base del fascio medesimo, 
il numero delle rimanenti intersezioni delle due curve d’ ordine 2 ( m — 1 ) 
sarà 3 ( m — 1 ) 2 — 3. 
Dunque il punto o comune a tutte le curve del fascio proposto, una 
delle quali è ivi cuspidata, conta per tre fra i punti doppi del fascio me- 
desimo. 
(d) Applicando il teorema generale ( dimostrato al principio del presente 
n.° ) al fascio delle prime polari de’ punti di una data retta (77), rispetto 
ad una curva C n d’ ordine n , si ha : 
In una retta qualunque vi sono 3 («— 2 ) 2 punti, ciascun 
de’ quali ha per prima polare, rispetto ad una data li- 
nea dell’ordine n, una curva dotata di un punto doppio. 
0 in altre parole, avuto anche riguardo al teorema (78): 
Il luogo dei poli delle prime polari dotate di punto 
doppio, rispetto ad una data linea d’ ordine n, ossia il 
luogo de’ punti d' incrociamento di quelle coppie di rette 
che costituiscono coniche polari, è una curva delP or- 
dine 3 ( n — 2 ) 2 . 
Questo luogo si chiamerà curva Sleineriana (*) della curva fondamen- 
tale C n . 
( e ) Se la curva fondamentale ha una cuspide d , ogni punto della tangen- 
te cuspidale è polo di una prima polare avente un punto doppio in d ( 78, a). 
Perciò la tangente medesima farà parte della Steineriana. 
89. Le rette polari di un punto fisso rispetto alle curve d' un fascio 
passano tutte per un altro punto fisso (84, c). Se si considera nel fascio una 
curva dotata di un punto doppio d , la retta polare di d rispetto a questa 
curva è indeterminata (72); talché le rette polari di d , relativamente a tutte 
le altre curve del fascio, si confonderanno in una retta unica. Vale a dire: 
1 punti doppi delle curve d’ un fascio godono della 
proprietà che ciascun d’ essi ha la stessa retta polare 
rispetto a tutte le curve del fascio. 
