Introduz. ad una teoria geometrica ec. 
Di qui s’ inferisce che ( 86 ) : 
II luogo dei poli di una retta rispetto alle curve di 
un fascio d’ordine m è una linea dell’ ordine 2 ( m — 1) 
passante pei 3 (m — 1 ) 2 punti doppi del fascio. 
E il luogo di un punto avente la stessa retta polare, rispetto ad una 
data curva C n e alle curve C m d’ un fascio, è (87) una curva dell’ordine 
n -4- 2m — 3 passante pei 3(m — l) 2 punti doppi del fascio. Pertanto questi 
punti e quelli ove € n è toccata da alcuna delle C m giacciono tutti insieme 
nell’ anzidetta curva d’ ordine n -+- 2m — 3. In particolare : 
Una retta data è toccata da 2(m-l) curve d’ un dato 
fascio d’ ordine m. I 2(m — 1) punti di contatto, insieme 
coi 3 (m — 1 ) 2 punti doppi del fascio, giacciono in una cur- 
va dell’ordine 2 ( m — 1 ), luogo dei poli della retta data 
rispetto alle curve del fascio. 
90. Dati due fasci di curve, i cui ordini siano m ed m [ , vogliamo in- 
dagare di qual ordine sia il luogo di un punto nel quale una curva del primo 
fascio tocchi una curva del secondo. Avanti tutto, è evidente che il luogo ri- 
chiesto passa per gli m 2 punti-base dei due fasci; perchè, se a è un 
punto-base del primo fascio , per esso passa una curva del secondo , alla qua- 
le condotta la tangente in a, vi è una certa curva del primo fascio, che 
tocca questa retta nel punto medesimo ( 46 ). Osservisi poi che una curva del 
primo fascio è toccata dalle curve del secondo in m(m-h2m 1 --3) punti (87); 
laonde quella curva del primo fascio , oltre agli m 2 punti-base , contiene 
m — 3 ) punti del luogo richiesto, cioè in tutto m ( 2m-t-2m t — -3 ) 
punti. Dunque il luogo di cui si tratta è dell’ordine 2 (m + mj — 3; es- 
so passa non solo pei punti-base dei due fasci, ma anche pei loro 
3(m— 1 ) 2 3 (m t — 1 ) 2 punti doppi (88), perchè ciascuno di questi equi- 
vale a due intersezioni di una curva dell’ un fascio con una dell’ altro. Abbia- 
mo così il teorema : 
Dati due fasci di curve, le une d’ ordine m, le altre 
d’ ordine m { , i punti di contatto delle une colle altre so- 
no in una linea dell’ ordine 2 ( m -mij ) — 3 , che passa pei 
punti-base e pei punti doppi dei due fasci. 
(a) Suppongasi che le curve dei due fasci siano prime polari relative ad 
una data curva fondamentale C n d’ordine n, epperò pongasi tn = m l = n — 1. 
I punti-base de’ due fasci sono i poli di due rette (77), talché giacciono 
tutti, insieme nella prima polare del puuto comune a queste rette medesi- 
me ( 69 , a ) : vale a dire , i due fasci hanno , in questo caso , una curva co- 
mune. Tale curva comune fa evidentemente parte del luogo dianzi determinato, 
onde , astraendo da essa , rimane una curva dell’ ordine 4 ( n — 1 ) — 3 — ( n— 1 ) 
= 3(n — 2), passante pei punti doppi de’ fasci dati , qual luogo de’ punti di 
contatto fra le curve dell’ uno e le curve dell’ altro fascio. Questa curva del- 
P ordine 3(n — 2) non cambia, se altri fasci di prime polari soslituiscansi 
ai due dati ; infatti , siccome tutte le prime polari passanti per un dato punto 
hanno altri (n — l) 2 — 1 punti comuni e formano un fascio (77, a), così, 
se due prime polari si toccano in quel punto, anche tutte le altre hanno ivi 
la stessa tangente. 
Di qui s’ inferisce che la curva luogo de’ punti di contatto fra due prime 
