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Luigi Cremona 
polari contieoe i punti doppi di tutti i fasci di prime polari, e per conseguen- 
za, avuto riguardo al teorema (78), è anche il luogo dei poli di quelle co- 
niche polari che si risolvono in due rette. Cioè : 
Il luogo di un punto nel quale si tocchino due ( e p- 
però infinite) prime polari relative ad una data curva 
d’ordine n , è una linea dell’ordine 3(n — 2 ) , la quale 
può anche definirsi come luogo dei punti doppi delle pri- 
me polari, e come luogo di un polo la cui conica polare 
sia una coppia di rette. 
A. questa linea si dà il nome di Hessiana della data curva fondamentale, 
perchè essa offre l’ interpretazione geometrica di quel covariante che Sylvester 
chiamò Hessiano ( dal nome del sig. Hesse ) , cioè del determinante formato 
colle derivate seconde parziali di una data forma omogenea a tre variabili (*). 
(b) I punti in cui si segano le prime polari di due punti o, o' sono i 
poli della retta oo' (77); talché, se le due prime polari si toccano, la ret- 
ta oo' ha due poli riuniti nel punto di contatto. Se adunque conveniamo di 
chiamar congiunti gli (n — 1 ) 2 poli di una medesima retta, potremo dire: 
L’ Hessiana è il luogo di un polo che coincida con 
uno de’ suoi poli congiunti. 
(c) Chiamate indicatrici di un punto le due rette tangenti che da esso 
ponno condursi alla sua conica polare, si ottiene quest’ altro enunciato: 
La curva fondamentale e 1’ Hessiana costituiscono in- 
sieme il luogo di un punto, le due indicatrici del quale 
si confondono in una retta unica. 
91. Dati tre fasci di curve, i cui ordini siano , m 2 , m 3 , in quanti punti 
queste si toccano a tre a tre? I punti in cui si toccano a due a due le cur- 
ve de’ primi due fasci sono (90) in una linea dell’ordine 2(m 1 -4-m 2 ) — 3; 
ed analogamente il luogo de’ punti di contatto fra le curve del primo e le 
curve del terzo fascio è un’altra linea dell’ordine 2(m 1 -f-m 3 ) — 3. Le due 
linee hanno in comune i punti-base ed i punti doppi del primo fascio, cioè 
m 2 1 -i-3 — 1 ) 2 punti estranei alla questione, talché esse si segheranno in 
altri ^2 ( a»! -4- m 2 ) — 3^2 (m ì -+• m 3 ) — 3^ — (w^x -+* 3 ( — t ) 2 ^ 
== 4 ( m. 2 m 3 ~h m 5 nii -+• m t m 2 ) — 6 ( m, h- m 2 -+• m- — 1 ) punti. E questi sono 
evidentemente i richiesti. 
( a ) Posto m 3 = 1 , si ha : 
Le tangenti comuni ne’ punti ove si toccano le curve 
di due fasci, i cui ordini siano m 1? m 2 , inviluppano una 
linea della classe 4m 1 m 2 — 2(m 1 -Hm 2 ). 
( b ) Se le curve de’ due fasci sono prime polari relative ad una data li- 
nea C n d’ ordine n , onde mj = = n — 1 , i due fasci hanno una curva 
comune (90, a) la quale è dell’ordine n — 1, epperò (70) della clas- 
(*) Sylvester , On a theory of thè syzygetic relations of two 
{ Pbilosophicai Transactions, voi. 143, pari 3, London 1853, p. 545 J. 
