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Luigi Cremona 
incontrata sì da T che da A in due punti riuniti in a, cioè per esse questo 
punto è doppio ; talché quel fascio non cambia col mutarsi della retta A intorno 
ad a. Fra le curve del fascio, due sono cuspidate in a (48), ed una di que- 
ste ha per tangente cuspidale la retta T. Ed invero quest’ ultima curva è in- 
dividuata dal dover incontrare T in tre punti ed A in due punti , tutti coinci- 
denti in a. 
93. Date tre curve C, C r , C " , gli ordini delle quali siano rispettivamente 
m, m ' , m ", proponiamoci di determinare il luogo di un punto le cui rette po- 
lari, rispetto a quelle curve, concorrano in uno stesso punto; ossia, con al- 
tre parole (69, a), il luogo di un punto nel quale si seghiiio le prime polari 
di uno stesso punto relative alle curve date. A. tal uopo procederemo così: per 
un punto o fissato ad arbitrio si conduca lina retta Z e si determinino i punti 
dotati della proprietà che in ciascun d’ essi concorrano le prime polari di uno 
stesso punto di Z; indi, fatta girare questa retta intorno ad o, si otterranno 
tutt’ i punti del luogo richiesto. 
Le prime polari de’ punti di Z rispetto alle curve C , C' formano due 
fasci projettivi (77), onde le curve corrispondenti, cioè le polari di uno stesso 
punto di Z, si segheranno ne’ punti di una curva K' dell’ordine m -+• m' — 2 
passante pei punti delle basi de’ due fasci. E qui si noti che la base del primo 
fascio è formata dagli (tn — 1 ) 2 punti ne’ quali la prima polare di o rispetto 
a C sega la prima polare di un altro punto qualunque di Z rispetto alla curva 
medesima. Così abbiamo ottenuto la curva K ' , luogo di un punto pel quale 
passino le prime polari , relative a C e C > di uno stesso punto di Z. 
Ogni retta Z condotta pel punto fisso o individua una curva K'. Di tali 
curve E! ne passa una sola per un punto qualunque p. Infatti, se per p de- 
vono passare le prime polari relative a C e C ' , il polo sarà l’ intersezione p' 
delle rette polari di p (69, a); il punto p' determina una retta Z passante 
per o, e questa individua la curva K' passante per p. Dunque, variando Z 
intorno ad o, la curva IT genera un fascio (41). 
Ora, se alla curva C r si sostituisce C", la retta Z darà luogo analoga- 
mente ad una curva K " d’ordine m h- m" — 2, la quale passerà per gli 
stessi ( m — 1 ) 2 punti-base del primo fascio , che ha servito per generare an- 
che K'. Variando Z intorno ad o, le corrispondenti curve K" formano un fa- 
scio. 1 due fasci formati dalle curve K, K " sono projettivi fra loro, perchè 
ciascun d* essi è projettivo al fascio di rette Z passanti per o . Laonde quei 
due fasci, 1’ uno dell' ordine m-i- m' — 2 , V altro dell’ ordine m -h m" — 2 , 
genereranno una curva dell’ordine 2m + m , + m"-4 (50). Siccome però due 
curve corrispondenti K',K" hanno sempre in comune (m— 1 ) 2 punti situati 
in una curva fissa dell’ ordine m — 1 (la prima polare del punto o rispet- 
to a C ) , così gli altri (w + m'-2 )( m h- m’ — 2 ) — ( m — 1 ) 2 
= m'm' -+■ m"m -4- miri — 2 ( m -nn' -+• tri' ) -f- 3 punti comuni alle omologhe 
curve K’,K" genereranno una curva dell’ordine 2m-i- m! -\-m" — 4 — (m — 1 ) 
= + — 3 (50, a). E questo è evidentemente il luogo richiesto. 
Questa curva si chiamerà la Jacobiana delle tre curve date (*). 
